Théorie de Lyapunov, commande robuste et optimisation

The field of robust control provides the theoretical principles and the numerical tools used to design engineering control systems that give adequate performance in face of uncertain environment. Since the 80s, robust multivariable control theory has developed formal methods that deal with key issues ranging from early theory of control disturbances rejection to stability and performance margins optimization. The robust control theory is built on applied mathematics (mathematical framework), operations research (optimization) and computer science (complexity theory and algorithms theory). Deeply rooted in rigorous mathematics, the aim of robust control is to develop theoretical and computational tools for versatile practical applications ranging from guidance and control of aerospace systems, to control systems for the manufacturing industries, and control of communication systems. As numerical tractability is a critical issue for realistic applications, new optimization tools are central to the development of the field. Beyond the usual relationships between both communities (optimization and control communities), a more subtle link relates the optimization theory to the control theory. Lyapunov theory, first used in an instrumental way by control practitioners, is the theoretical tool that formalizes this deep link between the two fields. Different facets of this idea are illustrated in this document. After exposing the general context of robust analysis and control as well as the particular related optimization problems, it is shown how a great number of results obtained in the framework of Lyapunov theory may be viewed as Lagrangian relaxations.Les récents développements en programmation semi-définie positive et en optimisation globale ont montré que les échanges entre les communautés de la théorie de la commande et de l'optimisation sont souvent à l'origine d'avancées significatives dans l'une ou l'autre des communautés. Originellement défini en théorie de la commande robuste, le formalisme lié aux inégalités matricielles linéaires a rapidement permis de développer le champ original de recherche en théorie de l'optimisation connu sous le terme de programmation semi-définie positive. En retour, les nombreux progrès théoriques (théorie de la dualité, méthodes de barrière...) et numériques (méthodes de points intérieurs, optimisation non différentiable...) ont fourni un support rigoureux à la majeure partie des développements algorithmiques produit en théorie de la commande robuste. Pour tous les formalismes actuellement utilisés en analyse et synthèse robustes allant de la théorie du mu (analyse et synthèse) au cadre de travail défini par les contraintes intégrales quadratiques, en passant par la théorie de la séparation des graphes, il est nécessaire de disposer d'une théorie de l'optimisation adéquate ainsi que des outils numériques efficaces associés. Au delà des liens habituels unissant les deux communautés, il nous a semblé qu'une relation plus subtile les liait. Outre le fait que les notions de performance et de robustesse conduisent naturellement à celle d'optimisation, les recherches entreprises et les résultats obtenus en théorie de la commande montrent souvent une parenté étroite avec le corpus issu de la théorie de l'optimisation. Une formalisation possible de ce lien organique entre les deux champs scientifiques est constituée par la théorie de Lyapunov. Nous nous attachons donc à illustrer les différents aspects que peut recouvrir la relation entre optimisation et théorie de la commande robuste. L'accent est particulièrement placé sur la théorie de Lyapunov, même si celle-ci n'en épuise pas t outes les facettes. Ainsi, après avoir présenté le contexte général de l'analyse et de la synthèse robustes et les problèmes d'optimisation particuliers qui leur sont liés, nous montrons comment de nombreux résultats obtenus dans le cadre de la théorie de Lyapunov peuvent être interprétés en terme de relaxations