Formulation générique de problèmes en analyse et commande robuste par les fonctions de Lyapunov dependant des paramètres

The thesis addresses robustness problems in automatic control. Some property of a given system is said to be robust if it is invariant with respect to all admissible model uncertainties. Our aim is to give methods for finding a control law that improves and/or guarantees different robust properties. Linear time-invariant models are considered. The structured parametric uncertainties enter the model by linear fractional transformations while the uncertainty domain may be polytopic or dissipative. The robust properties studied in the thesis are robust stability, disturbance rejection (robust guaranteed cost) and transient response (pole location). First are given some analysis methods and then algorithms for control law synthesis are proposed. The theoretical tools employed are issued from the Lyapunov theory and from topological separation. Parameter dependent Lyapunov functions are considered in order to reduce the conservatism of the quadratic stability framework. This last framework is also described thoroughly for comparison in terms of conservatism and computational complexity. Most mathematical results are given in a unified formulation in order to describe their generality. All the results are based on linear matrix inequalities that can be solved efficiently with nowadays classical techniques. The theoretical results are illustrated by some examples.Cette thèse porte sur la commande robuste des systèmes. La robustesse caractérise l'invariance de propriétés de stabilité et de performance vis à vis des inévitables incertitudes affectant le modèle. Le problème de commande est d'améliorer et/ou de garantir les propriétés robustes. Les modèles considérés sont linéaires à temps invariant. Les incertitudes sont paramétriques réelles structurées et interviennent sous forme rationnelle. Les classes d'incertitudes polytopiques et dissipatives sont plus particulièrement prises en compte. Les propriétés étudiées sont principalement la stabilité robuste, le rejet des perturbations (coût garanti robuste) et le comportement transitoire (localisation des pôles). Pour ces propriétés nous proposons dans un premier temps des méthodes d'analyse puis des méthodes de synthèse de correcteurs. Les outils théoriques utilisés sont issus de la théorie de Lyapunov et de la séparation topologique. De manière à garantir les performances avec le moins de pessimisme possible, nous proposons de faire appel à des fonctions de Lyapunov dépendant des paramètres. Comme on attache une importance à la mise en oeuvre numérique, des méthodes issues du cadre de la stabilité quadratique, plus pessimistes mais moins demandeuses en capacité de calcul sont également proposées. La formulation volontairement unifiée des différents problèmes met en évidence les sources de pessimisme. Toutes les méthodes proposées sont formulées en termes d'Inégalités Matricielles Linéaires (LMI) dont la mise en oeuvre numérique est désormais classique. Les résultats de recherche sont illustrés sur des exemples