Quelques développements récents en théorie des fragmentations.

The main subject of this PHD thesis is the study of various quantities related to fragmentation processes. These processes are designed to modelize a unit mass object which fragments with time.This work is composed of four chapters. The aim of the first one is to study the Hausdorff dimension of the set of locations having exactly an exponential decay. In the second chapter, we construct a self-similar Markov process which generalizes the classical fragmentation by allowing in particular the size of the descendants to be bigger than the one of their parents. Then we show some Limit Theorems using the theory of self-similar Markov processes. In the third chapter, we are interested by the statistical estimation of the Lévy measure of the classical subordinator associated to the fragmentation. More precisely, we observe the fragments only when their size reach a size smaller than a given threshold. Finally, in the fourth chapter, we study the energy cost of a succession of fragmentations.Le sujet principal de cette thèse de doctorat est l'étude de diverses quantités reliées aux processus de fragmentation. Ces processus sont destinés à modéliser un objet de masse unité se fragmentant au cours du temps.Ce travail comporte quatre chapitres. Le premier chapitre est consacré à l'étude de la dimension de Hausdorff de l'ensemble des points ayant une décroissance exponentielle dans une fragmentation homogène en intervalles. Dans le deuxième chapitre, on construit un processus de Markov auto-similaire qui généralise les fragmentations classiques autorisant en particulier la taille des descendants à être plus grande que celle de leurs parents. On établit ensuite certains théorèmes limites en utilisant la théorie des processus auto-similaires. Dans le troisième chapitre, on s'intéresse à un problème statistique provenant de l'industrie minière avec l'estimation statistique de la mesure de Lévy du subordinateur classiquement associé à la fragmentation. Plus précisément, on observe les fragments seulement à l'instant où ils atteignent une taille inférieure à un seuil fixé. Enfin, dans un quatrième chapitre on étudie le coût énergétique d'une succession de fragmentations