Autour des représentations des algèbres quantiques : géométrie, dualité de Langlands et catégorification des algèbres cluster

Nous présentons des résultats obtenus dans cinq directions autour des représentations des algèbres affines quantiques $\U_q(\hat{\Glie})$. En premier lieu nous prouvons la conjecture de Kirillov-Reshetikhin, c'est-à-dire des formules de caractères pour certaines représentations de dimension finie de $\U_q(\hat{\Glie})$, et nous étendons le résultat à des affinisations minimales; nous étendons le modèle monomial des cristaux aux représentations extrémales et nous y interprétons des automorphismes de Kashiwara. Ensuite, à l'interface avec la géométrie algébrique, nous définissons une notion de groupes de lacets analytiques avec une factorisation de Riemann-Hilbert qui permet de réaliser géométriquement le centre de $\U_q(\hat{\Glie})$ aux racines de $1$. Comme application, nous paramétrisons des classes d'équivalences de représentations de $\U_q(\hat{\Glie})$ par des $G$-fibrés sur une courbe elliptique. On résoud le problème de petitesse géométrique posé par Nakajima pour des résolutions de variétés carquois. Troisièmement, nous établissons une nouvelle dualité de Langlands pour des représentations de $\Glie$ et de $\U_q(\hat{\Glie})$ et nous définissons des groupes quantiques d'interpolation pour l'interpréter. Quatrièmement, nous construisons une catégorie tensorielle pour les algèbres affinisées quantiques et des représentations de dimension finie d'algèbres toroïdales quantiques (et de Cherednik); nous proposons un analogue en théorie de Lie des algèbres de réflexion symplectiques. Enfin, nous obtenons des catégorifications monoïdales d'algèbres cluster en terme d'une catégorie $\mathcal{C}_1$ de représentations de $\U_q(\hat{\Glie})$. Pour ce faire, nous établissons notamment la factorisation en modules premiers de modules simples de $\mathcal{C}_1$