Sur les algèbres de bords des surfaces marquées à p-ponctions

Cette thèse parle de catégorifications exactes des algèbres amassées de types An, et Dr, à l'aide de la théorie des factorisations de matrices combinée à celle des modules de Cohen-Macaulay [Yos90] sur une algèbre jacobienne [DWZ08] provenant d'une surface [FST08]. Étant donnée une triangulation étiquetée u d'une surface à bords marqués avec ponc-tions (S, M), nous définissons un carquois géométrique à potentiel gelé (Q,-, W,, .F) et montrons que l'algèbre jacobienne à bords gelés associée, notée A°(a) = ellUeT, est indépendante du choix de u, autrement dit, dépend uniquement de la surface (S, M), c'est-à-dire A°(u) = A(sm). En particulier, nous déterminons une forme générale explicite de celle-ci pour les cas du polygone à p-ponctions (Pn+3,p), pour tout p E N, sous forme d'algèbre de groupe gauche d'un groupe cyclique Gn,±3 d'ordre fini sur une singularité d'hypersurface Rp, noté Rp * Gn+3. Ensuite, nous utilisons une caractérisation des CM-modules sur une algèbre 1-Gorenstein de dimension peut-être infinie, proposée au chapitre 2, pour montrer que la catégorie des (Rp * Gn+3)-modules de Cohen-Macaulay CM(Rp * Gn+3) est équivalente à la catégorie de groupe gauche CM(Rp) * Gn+3. Cette équivalence permet de transférer les propriétés de 2-Calabi-Yau et de Frobenius retrouvées dans CM(Rp) dans la catégorie CM(Rp * Gn+3). Puis, nous montrons l'existence d'un CM(R0 * Gn+3)-module inclinant amassée et utilisons un résultat de Keller-Reiten [KR08, Théorème 2.1. ] pour établir une équivalence triangulée entre la catégorie stable CM(R0 * Gn+3) et la catégorie amassée C(An)• n±l±p Enfin, nous utilisons la relation zi = 2x2 — H yi±k pour transformation la singu-k=1 larité R1 en une singularité de Klein Ri:, de type A2n+3 et ainsi établir une équivalence triangulée entre la catégorie stable CM(R1 * Gn+3) et la catégorie amassée C(Dn+3). Ces résultats établissent, pour chaque p E 10, 1}, une correspondance bijective entre isoclasses de CM(Rp * Gn+3)-modules inclinants amassés et triangulations étiquetées de (Pn+3,p).[Symboles non conformes