Approximation numérique des conditions aux bords et des termes source raides dans les équations hyperboliques

Ce travail est consacré à l’étude théorique et numérique de systèmes hyperboliques d’équations aux dérivées partielles et aux équations de transport, avec des termes de relaxation et des conditions aux bords. Dans la première partie, on étudie la stabilité raide d’approximations numériques par différences finies du problème mixte donnée initiale-donnée au bord pour l’équation des ondes amorties dans le quart de plan. Dans le cadre du schéma discret en espace, nous proposons deux méthodes de discrétisation de la condition de Dirichlet. La première est la technique de sommation par partie et la seconde est basée sur le concept de condition au bord transparente. Nous proposons également une comparaison numérique des deux méthodes, en particulier de leur domaine de stabilité. La deuxième partie traite de schémas numériques d’ordre élevé pour l’équation de transport avec une donnée entrante sur domaine borné. Nous construisons, implémentons et analysons la procédure de Lax-Wendroff inverse au bord entrant. Nous obtenons des taux de convergence optimaux en combinant des estimations de stabilité précises pour l’extrapolation des conditions au bord avec des développements de couche limite numérique. Dans la dernière partie, nous étudions la stabilité de solutions stationnaires pour des systèmes non conservatifs avec des termes géométrique et de relaxation. Nous démontrons que les solutions stationnaires sont stables parmi les solutions entropique processus, qui généralisent le concept de solutions entropiques faibles. Nous supposons essentiellement que le système est complété par une entropie partiellement convexe et que, selon la dissipation du terme de relaxation, la stabilité ou la stabilité asymptotique des solutions stationnaires est obtenue.The dissertation focuses on the study of the theoretical and numerical analysis of hyperbolic systems of partial differential equations and transport equations, with relaxation terms and boundary conditions. In the first part, we consider the stiff stability for numerical approximations by finite differences of the initial boundary value problem for the linear damped wave equation in a quarter plane. Within the framework of the difference scheme in space, we propose two methods of discretization of Dirichlet boundary condition. The first is the technique of summation by part and the second is based on the concept of transparent boundary conditions. We also provide a numerical comparison of the two numerical methods, in particular in terms of stability domain. The second part is about high order numerical schemes for transport equations with nonzero incoming boundary data on bounded domains. We construct, implement and analyze the so-called inverse Lax-Wendroff procedure at incoming boundary. We obtain optimal convergence rates by combining sharp stability estimate for extrapolation boundary conditions with numerical boundary layer expansions. In the last part, we study the stability of stationary solutions for non-conservative systems with geometric and relaxation source term. We prove that stationary solutions are stable among entropy process solution, which is a generalisation of the concept of entropy weak solutions. We mainly assume that the system is endowed with a partially convex entropy and, according to the entropy dissipation provided by the relaxation term, stability or asymptotic stability of stationary solutions is obtained