Estimateurs améliorés des paramètres de la densité gaussienne inverse et d'une famille de distributions obtenues par mélange de lois normales, avec paramètre de nuisance inconnu

Le but visé par cette thèse est d'étendre la méthodologie développée pour obtenir des estimateurs améliorés de la moyenne d'une densité multinormale, d'une part à une classe plus large de distributions obtenues par mélange de lois normales avec variance inconnue, et d'autre part, à la densité gaussienne inverse. Nous définissons d'abord au chapitre 2, une classe de distributions obtenues par mélange d'échelles de lois normales, en introduisant un paramètre supplémentaire inconnu qui représente la variance commune des variables. La généralité de la forme des distributions considérées nous permet d'inclure dans cette classe, en plus de la densité normale, la loi de Student et la double exponentielle multidimentionnelles. Nous identifions ensuite, pour la moyenne de ces distributions, un ensemble d'estimateurs du type James-Stein pour lesquels la perte moyenne quadratique est, sous certaines conditions, inférieure ou égale à celle de l'estimateur habituel X. Sachant que X est minimax dans ce contexte, il en est de même pour nos estimateurs. Nous montrons enfin qu'en présence d'un échantillon de taille n, la loi des moyennes échantillonnales est membre de la classe de distributions que nous avons considérée. Cette constatation nous permet d'obtenir de meilleurs estimateurs que X, ce dernier étant l'estimateur le plus couramment utilisé dans la pratique pour estimer la moyenne à l'aide des observations. À la fin du chapitre, quatre graphiques permettant de comparer le risque de X et de X avec celui de nos estimateurs, viennent confirmer l'avantage de ces derniers dans le cas multidimensionnel. Le développement statistique de la densité gaussienne inverse étant relativement récent et peu connu, nous avons cru utile de présenter une brève description de celle-ci avant d'exposer nos résultats sur l'estimation améliorée de ses paramètres. Le chapitre 3 est réservé à cette fin. Nous y trouvons entre autres, l'identification de la loi des estimateurs du maximum de vraisemblance ainsi qu'une section résumant certains travaux récents de Whitmore qui mettent en évidence l'utilité de la gaussienne inverse comme modèle permettant l'étude de durées aléatoires. Au chapitre 4, nous reparamétrisons la densité gaussienne inverse et utilisons une technique d'intégration par parties afin d'obtenir pour le paramètre x, des estimateurs meilleurs, au sens du risque quadratique, que ceux décrits au chapitre précédent. Nous traitons le cas où le deuxième paramètre est inconnu, généralisant ainsi les travaux de Berger faits dans le contexte d'une famille exponentielle. Finalement, la dernière section du chapitre 4 est consacrée à démontrer qu'un grand nombre d'estimateurs naturels du deuxième paramètre de la densité gaussienne inverse peuvent également être améliorés si leur croissance est limitée par une constante convenablement choisie