Obstructions quadratiques à la contrôlabilité, de la dimension finie à la dimension infinie

National audienceWe investigate the small-time local controllability of systems in the vicinity of an equilibrium. Given a small time, an initial data and a final data close from the equilibrium, is it possible to find a control (a source term) that guides the solution from the initial state to the wished final state at the given time? The natural method is to start by studying the controllability of the linearized system near the equilibrium. When this system is not controllable, it is necessary to continue the expansion with the quadratic order.In this note, we highlight the links between different recent results around this topic, in the particular case where the control is a single scalar input. These results tend to prove that, in this particular case, the quadratic order can only yield obstructions to controllability. We especially comment an exhaustive result obtained in collaboration with Karine Beauchard in finite dimension and a result contained in the thesis of the author, which involves a new kind of phenomenon in infinite dimension.On s'intéresse à la contrôlabilité locale en temps petit d'un système au voisinage d'un équilibre. Étant donné un petit temps imparti, une donnée initiale proche de l'équilibre et une donnée finale proche de l'équilibre, est-il possible de trouver un contrôle (un terme source) qui guide la solution du système depuis l'état initial vers l'état final souhaité dans le temps imparti ? La démarche naturelle consiste à commencer par étudier la contrôlabilité du système linéarisé au voisinage de l'équilibre. Lorsque celui-ci n'est pas contrôlable, il est nécessaire de poursuivre le développement à l'ordre quadratique. Dans cette note, on fait le lien entre plusieurs résultats récents autour de cette thématique, dans le cas particulier où le contrôle est scalaire. Ces résultats laissent penser que, dans ce cas, l'ordre quadratique ne peut qu'apporter des obstructions à la contrôlabilité. On commente notamment un résultat exhaustif obtenu en collaboration avec Karine Beauchard en dimension finie et un résultat contenu dans la thèse de l'auteur qui fait apparaître un phénomène nouveau en dimension infinie