Abbildungen von Polyedermodellen in der Ebene

Für viele Anwendungen ist es nützlich, eine Parametrisierung der Oberfläche eines Polyeders mit nur zwei Koordinaten zu haben. Solche Parametrisierungen kann man finden; aber es ist nicht einfach, für eine gegebene Anwendung eine "gute" Parametrisierung zu gewinnen. Parametrisierungen von geschlossenen Oberflächen weisen immer Unstetigkeiten auf, weil die Oberfläche zur Überführung in die Topologie einer Scheibe irgendwo aufgeschnitten werden muss. Bei Anwendungen erhält man an diesen Stellen typischerweise unbefriedigende Resultate, so dass jede Parametrisierung nur in einem kleinen Bereich der Oberfläche eingesetzt werden kann. In dieser Arbeit wird folgender Lösungsansatz für diese Problematik untersucht: Es werden mehrere Parametrisierungen ermittelt, von denen jede in einem anderen Teil des Polyedermodells "gute" Ergebnisse liefern sollte. Mit jeder Parametrisierung wird die Anwendung dann durchgeführt, und die Endresultate werden gewichtet gemittelt. Dazu werden Punkte auf der Oberfläche markiert, und um jeden Punkt herum wird ein Rand festgelegt. Der jeweils innerhalb eines Randes liegende Teil des Modells wird in eine topologische Scheibe abgebildet. Zur Erzeugung eines solchen Randes gebe ich einen Algorithmus an, der aber noch einige Optionen dem Benutzer freistellt. Für die Wahl dieser Optionen lassen sich keine für alle Anwendungen und alle Modelle gültigen Gesetze finden, sondern nur einige auf meinen Erfahrungen basierende Faustregeln. Für die eigentliche Abbildung in die Ebene habe ich auf bereits bekannte Verfahren zurückgegriffen. Zwei Anwendungen habe ich implementiert und auf Ihre Brauchbarkeit untersucht: Texturierung und 3D-Morphing. Bei der Interpolation oder Approximation von Texturkoordinaten ergaben sich meist sinnvolle Ergebnisse. Man bemerkt aber auch immer wieder, dass es zu unerwünschten Effekten kommen kann, deren Auftreten vor Ausführung der zeitaufwendigen Berechnungen nicht abgeschätzt werden kann. Die Ermittlung mehrerer Abbildungen mit nachfolgender Mittelung der exturkoordinaten verhindert die extremsten Unschönheiten, liefert aber keinesfalls bessere Texturkoordinaten als jede einzelne Abbildung. Bei der Anwendung zum 3D-Morphing werden vermittels der Abbildungen in die Ebene den Knoten des ersten Modells Koordinaten auf der Oberfläche des zweiten Modells zugewiesen, wodurch eine Näherung des zweiten Modells mit der Topologie des ersten Modells entsteht. Zur Festlegung der Korrespondenz markiert der Benutzer nur wenige Knoten auf beiden Modellen. Das Verfahren ist unabhängig von Genus der verwendeten Modelle. Doch leider stieß ich auf zahlreiche prinzipielle Probleme, hervorgerufen durch die Verwendung von Abbildungen in die Ebene, die oft zu äußerst unbefriedigenden Resultaten führen, wobei einige Effekte sich durch die Mittelung der Koordinaten sogar noch verschlimmern. Alle in dieser Arbeit vorgestellten Verfahren habe ich in Java implementiert