Étude numérique de méthodes d'intégration temporelle basées sur des techniques de perturbation. : application à des problèmes de mécanique

The development of numerical methods for solving nonlinear evolution problems is currently a growing research field. Therefore, the main goal of this thesis is to address several needs regarding the development of time perturbation methods and numerical summation of divergent series used as time integration schemes. We are interested in the Asymptotic Numerical Method, the Borel Padé Laplace summation, the Inverse factorial series, and the Meijer-G approximant.The most interesting property of these approaches is that the obtained solutions are continuous in time. These methods are applied to the ordinary and partial differential equations in mechanics. These include the heat equation, Burgers, the interface tracking equation and the Navier- Stokes equations. These approaches have shown their efficiency over long time intervals on a variety of problems. Thus, numerical tests show that it is possible to reduce the computation time of classical methods for some problems while eliminating the constraints related to the classical scheme. For other problems such as the Navier-Stokes equations, we have noticed that in some cases an optimization must be proposed to improve these approaches. Moreover, a new insight is provided on the use of the Meijer-G approximants on time- dependent problems. Different developments related to this method have been validated and show interesting perspectives.Le développement des méthodes numériques pour la résolution des problèmes d'évolution non linéaires est actuellement un domaine de recherche en pleine expansion. Par conséquent, l'objectif principal de cette thèse est d’étudier et développer les méthodes de perturbation temporelle et de sommation numérique de séries divergentes utilisées comme schémas d'intégration temporelle. Nous nous intéressons à la méthode asymptotique numérique, à la sommation de Borel Padé Laplace, des séries factorielles inversées et des approximants de Meijer-G. La propriété la plus intéressante de ces approches est que les solutions obtenues sont continues en temps.Ces méthodes sont appliquées aux équations différentielles ordinaires et aux équations aux dérivées partielles de la mécanique. Celles-ci comprennent l'équation de la chaleur, de Burgers, l'équation de suivi d'interface et les équations de Navier-Stokes. Ces approches se sont avérées efficaces sur de longs intervalles de temps et pour de nombreux problèmes. Ainsi, les tests numériques montrent qu'il est possible de réduire le temps de calcul des méthodes classiques pour certains problèmes tout en éliminant les contraintes d'intégration et les faiblesses liées aux schémas classiques. Pour d'autres problèmes tels que les équations de Navier-Stokes, nous avons remarqué que dans certains cas une optimisation doit être proposée pour améliorer ces approches. De plus, un nouvel éclairage est apporté sur l'utilisation des approximants de Meijer-G sur des problèmes dépendant du temps. Les différents développements liés à cette méthode ont été validés et laissent entrevoir des perspectives intéressantes