A full discretisation of the time-dependent Navier-Stokes equations coupled with the heat equation

Les équations aux dérivées partielles issues de la nature n’ont pas de solutions explicites et ne peuvent de ce fait qu’être résolue de manière approchée. Le travail présenté dans cette thèse porte d’une part sur la résolution du système de Navier-stokes couplé avec l’équation de la température. Ce couplage est connu sous le nom du modèle de Boussinesq. La viscosité et la force extérieure sont non linéaires dépendent de la température. D’autre part, sur la validation numérique des résultats théoriques obtenus dans le cadre académique et industriel. Ce travail porte sur deux parties. Dans la première, nous nous intéressons à l’approximation numérique de la solution des schémas discrets proposés en utilisant la méthode d’Euler semi-implicit pour la dicrétisation en temps et la méthode des éléments finis pour la discrétisation en espace d’ordre un. Dans le but de gagner en temps et en ordre de convergence, nous discrétisons le problème de couplage en ordre deux en temps et en espace, respectivement par la méthode BDF et la méthode des éléments finis d’ordre deux. Nous effectuons ainsi l’analyse de l’erreur a priori des schémas proposés et nous terminons par valider les résultats théoriques déjà obtenus par des simulations numériques en utilisant le logiciel Freefem++. La deuxième partie est dédiée à la modélisation du phénomène bouchon qui apparaît de temps en temps durant l’impression 3D. Dans le but d’améliorer l’algorithme séquentiel 2D et pouvoir passer ensuite à la simulation 3D, nous effectuons des calculs parallèles basés sur la méthode de décomposition de domaine. Les résultats obtenus montrent que cette méthode n’est pas efficace en termes de scalablité. Nous utilisons alors une méthode de préconditionnement à un niveau où les essais numériques décèlent une dépendance de la convergence en fonction du nombre de processeurs et de la physique du modèle. D’où l’idée d’ajouter au préconditionneur un deuxième niveau par la résolution du problème grossier.The analytical solutions of the majority of partial differential equations are difficult to calculate, hence, numerical methods are employed. This work is divided into two parts. First, we study the time dependent Navier-Stokes equations coupled with the heat equation with nonlinear viscosity depending on the temperature known as the Boussinesq (buoyancy) model . Then, numerical experiments are presented to confirm the theoretical accuracy of the discretization using the Freefem++ software. In the first part, we propose first order numerical schemes based on the finite element method for the space discretization and the semi-implicit Euler method for the time discretization. In order to gain time and order of convergence, we study a second order scheme in time and space by using respectively the second order BDF method "Backward Differentiation Formula" and the finite element method. An optimal a priori error estimate is then derived for each numerical scheme. Finally, numerical experiments are presented to confirm the theoretical results. The second part is dedicated to the modeling of the thermal instability that appears from time to time while printing using a 3D printer. Our purpose is to build a reliable scheme for the 3D simulation. For this reason, we propose a trivial parallel algorithm based on the domain decomposition method. The numerical results show that this method is not efficient in terms of scalability. Therefore, it is important to use a one-level preconditioning method "ORAS". When using a large number of subdomains, the numerical test shows a slow convergence. In addition, we noticed that the iteration number depends on the physical model. A coarse space correction is required to obtain a better convergence and to be able to model in three dimensions