Groupes de r´eflections pour le calcul quantique

On d´efend la th`ese que les groupes de r´eflections unitaires (les transformations unitaires qui conservent un hyperplan d'un espace vectoriel) assurent les corrections d'erreurs issues du groupe de Pauli Pn `a n qubits, constitu´e des produits tensoriels des matrices de Pauli i, i = 0..3, avec les phases ±1 ou ±i. Le groupe de Clifford Cn = nU 2 U(2n)|UPnU−1 = Pno normalise le groupe de Pauli dans le groupe unitaire. Ce groupe est apparu dans le contexte de certains codes correcteurs d'erreurs autoduaux (E Bannai 99, G Nebe 00), et il est bien connu que C1 et C2 rel`event de la s´equence de Shephard-Todd des groupes de r´eflections complexes. G¨ottesman `a montr´e en 1997 que trois portes suffisent `a g´en´erer Cn: les portes de Hadamard et de phase /4 (`a un qubit) et la porte CNOT (`a deux qubits). Dans ce travail [1] on met aussi en avant certains groupes cristallographiques de r´eflexions sur l'espace euclidien r´eel (groupes de Coxeter), ainsi que les groupes de r´eflections complexes imprimitifs G(2l, 2, 5). Les groupes imprimitifs sont li´es aux bases mutuellement d´ecorr´el´ees de Pn. Les groupes de Coxeter du type B3 et G2 correspondent aux automorphismes de P1 et les syst`emes de Coxeter du type D5 et E6 apparaˆıssent comme une composante d'intrication topologique de C2 et C3. La g´eom´etrie tient donc de la surface cubique de Clebsch r´egl´ee par 27 lignes droites. On montre ´egalement que le groupe C3 contient les symm´etries des octonions via ses uniques sous-groupes d'ordre 168, 6048 et 12096, isomorphes aux groupes de Lie PSL(2, 7), SU(3, 3) et G2(2), dont on donne une nouvelle repr´esentation