Calcul et intrication quantiques: repr´esentation unitaire du groupe de Coxeter/Weyl W(E8)

Dans un premier temps, je pr´esenterais bri`evement comment David Mermin rend compte des aspects paradoxaux de la r´ealit´e quantique, `a partir de la non-compatibilit´e alg´ebrique des r`egles pour les valeurs propres (mesures quantiques) et pour les vecteurs propres (´etats quantiques) d'ensembles d'observables qui ne commutent pas tous. Je montrerai alors comment on peut transf´erer un tel questionnement `a un groupe `a sym´etrie octahedrale et `a ses invariants. Ensuite, j'introduirais au calcul quantique, o`u les portes unitaires sont les ´el´ements d'un groupe ad´equat. On cherche `a contenir les erreurs du calcul, repr´esent´ees par les produits tensoriels des matrices de Pauli, dans un sous-groupe fini de portes quantiques, ´el´ements du groupe unitaire complexe U(2n) `a n qubits, et `a repr´esenter au mieux toute matrice unitaire (universalit´e du calcul), d'o`u le groupe de Clifford et sa relation au groupe symplectique Sp(2n, 2). La d´ecomposition de Sp(2n, 2) en ses sous-groupes orthogonaux (extrasp´eciaux) se refl`ete en une d´ecomposition du groupe de Clifford en deux dipoles, dont les ´el´ements rel`event de plusieurs concepts int´eressants: les groupes de r´eflections complexes, les designs unitaires, ainsi que l'intrication quantique. Je les introduirai en d´etail dans le s´eminaire. Puis je montrerai que le groupe de Coxeter/Weyl fini le plus grand W(E8), d'ordre 696 729 600, peux-ˆetre repr´esent´e par des portes quantiques r´eelles `a trois qubits, dont l'une au moins, la porte de Toffoli, est ´etrang`ere au groupe de Clifford. La structure de W(E8), ainsi repr´esent´ee, est intimement li´ee au ´etats GHZ, et sa d´ecomposition en sous-groupes maximaux est li´ee aux ´etats bipartites W ou aux ´etats `a intrication en chaˆıne. Quelques perspectives pour le calcul quantique et l'unification de la physique seront discut´ees. Bibliographie Clifford group dipoles and the enactment of Weyl/Coxeter group W(E8) by entangling gates. Preprint 0904.369