Couches limites fluides et équations elliptiques dégénérées

This thesis is devoted to the mathematical analysis of several boundary layer models in fluid dynamics. The starting point of our study is the Proudman problem, which describes the behavior of an incompressible highly rotating fluid between two spheres. In the low Rossby and low Ekman number limit, multiple nested boundary layers appear. They had been described, at a formal level, in previous works. The goal of the first part of this manuscript is to study rigorously several of them (in particular the equatorial Ekman layer) and to propose strategies of proof to justify the complete asymptotic expansion. In a second part we consider an MHD model, within which shear layers take place. They bear a strong resemblance to the boundary layers studied in the first part. Eventually, the last part is dedicated to a stationary Burgers equation with transverse viscosity, for which we construct sign-changing solutions. Our long term goal is to construct solutions of the Prandtl system with a recirculation bubble, for which the present system play the role of a toy-model. Remarkably, several of the systems studied in the present manuscript belong to the class of degenerate elliptic equations.Cette thèse est consacrée à l’analyse mathématique de plusieurs modèles de couches limites en mécanique des fluides. Le point de départ de l’étude est le problème de Proudman qui modélise le comportement d’un fluide incompressible en rotation rapide entre deux sphères. Dans la limite où le nombre de Rossby et le nombre d’Ekman sont petits, de nombreuses couches limites imbriquées apparaissent, et avaient été décritesformellement dans des travaux antérieurs. Le but de la première partie de cette thèse est d’étudier rigoureusement plusieurs d’entre elles (en particulier la couche d’Ekman équatoriale) et de donner des pistes pour justifier le développement asymptotique. Dans une seconde partie on s’intéresse à un modèle issu de la magnétohydrodynamique, au sein duquel apparaît une couche de cisaillement très similaire aux couches limites étudiées dans la première partie. Enfin, en vue de construire des solutions stationnaires du système de Prandtl possédant des bulles de recirculation, on étudie dans la dernière partie une équation de type Burgers stationnaire avec viscosité transverse, pour laquelle on construit des solutions changeant de signe. De façon remarquable plusieurs des systèmes étudiés entrent dans le cadre des équations elliptiques dégénérées