Etude mathématiques de modèles multi-ressources dans un chemostat.

This thesis focuses on the mathematical analysis of an anaerobic digestion model involving three species and three resources in a chemostat. The model includes several specific ecological interactions between these species, such that competition, syntrophy, and inhibition. More precisely, we analyze the mechanistic model describing the anaerobic chlorophenol mineralization in a three-tiered microbial food-web. We investigate the effects of including three inflowing concentrations, the mortality of the species, together with the inhibition of the third substrate on the first species. In this general case, we prove that the system can have up to eight types of steady states and we give a complete analysis by determining the necessary and sufficient conditions for their existence, according to the operating parameters. Then, we study the local stability in the case when the maintenance is ignored, where we can reduce the system to a three-dimensional one. We examine the effect of adding the hydrogen input concentration to the chlorophenol mineralization model and analyze the bifurcation diagrams by varying the input concentration of chlorophenol as a bifurcation parameter. We show that the positive steady state, which corresponds to the coexistence of the three microorganisms, can be unstable and that the system exhibits rich behaviors including bistability, coexistence, and emergence of a limit cycle through a supercritical Hopf bifurcation. When the mortality terms are present in the model, we use the Liénard-Chipart stability criterion to determine explicitly the necessary and sufficient local stability properties, when the eigenvalues of the Jacobian matrix can not be calculated. Subsequently, we give a numerical analysis of the bifurcation diagrams which suggested the presence of a supercritical Hopf bifurcation emerging through the positive steady state with the appearance of a stable periodic solution. Finally, we focus on the study of the operating diagrams which illustrate the existence and stability regions of the steady states. Our analytical study results in the discovery of several interesting regions, namely the existence of an instability region of the positive steady state, a fact that has not been detected, previously, by the numerical study.Cette thèse porte sur l'analyse mathématique d'un modèle de la digestion anaérobie qui comprend trois espèces microbiennes et trois ressources dans un chémostat. Le modèle implique plusieurs interactions écologiques spécifiques entre ces espèces, telles que la compétition, la syntrophie et l'inhibition. Plus précisément, nous analysons mathématique-ment un modèle décrivant la minéralisation anaérobie du chlorophénol dans une chaîne alimentaire microbienne à trois niveaux. Nous étudions les effets des trois substrats en entrée, de la mortalité des espèces, ainsi que celui de l'inhibition du troisième substrat sur la première espèce. Dans ce cas général, nous prouvons que le système peut avoir huit types d'équilibres et nous donnons une analyse complète en déterminant les conditions nécessaires et suffisantes pour leur existence, en fonction des paramètres opératoires. Ensuite, nous étudions la stabilité locale du modèle sans termes de mortalité qu'on a pu réduire à un modèle en dimension trois. Nous examinons l'effet de l'ajout de l'hydrogène en entrée au modèle de minéralisation du chlorophénol et nous analysons les diagrammes de bifurcation en faisant varier la concentration du chlorophénol en entrée en tant que paramètre de bifurcation. Nous montrons que l'équilibre positif, qui correspond à la coexistence des trois microorganismes, peut être instable, et que le système présente des comportements très riches comprenant la bi-stabilité, la coexistence et l'émergence d'un cycle limite à travers une bifurcation de Hopf super-critique. Lorsque les termes de mortalité sont présents dans le modèle, nous utilisons le critère de stabilité de Liénard-Chipart pour déterminer explicitement les conditions nécessaires et suffisantes de la stabilité locale, quand on ne peut pas calculer les valeurs propres des matrices Jacobiennes. Par la suite, nous donnons une analyse numérique des diagrammes de bifurcation qui a suggéré la présence d'une bifurcation de Hopf super-critique émergeant à travers l'équilibre positif avec l'apparition d'une solution périodique stable. Enfin, nous nous concentrons sur l'étude des diagrammes opératoires qui illustrent les régions d'existence et de stabilité des équilibres. Notre étude analytique aboutit à la découverte de plusieurs régions intéressantes, comme l'existence d'une région d'instabilité de l'équilibre positif, qui n'a pas été détectée, auparavant, par l'étude numérique