Théorie des nombres et applications physiques ( Sn>1 an = −1/12, effet Casimir, cordes bosoniques et autres)

We study some results of number theory relating to the problem of the regularization of divergent series. When the techniques of Grandi, Cesàro or Abel are no longer sufficient - which is the case for the infinite series of integers - a result of Ramanujan, was finally able to find a rigorous expression thanks to the Riemann zeta function, anticipated by Euler. We then see that the resulting expression (-1/12) finds applications in physics, as well in the calculation of energy and force of the quantum vacuum (Casimir effect) as, quite independently, in bosonic string theory or, more generally, in the modeling of certain harmonic oscillators. It seems that the techniques of regularization which, each time, smooth the singularity allow to make the transition between physics of different type or concerning different levels of reality. In any case, physics gives these surprising, and sometimes paradoxical, mathematical results not only an illustration, but a relevance, while the mathematical results allow physics to escape the infinites. \\\textNous étudions quelques résultats de théorie des nombres touchant au problème de la régularisation des séries divergentes. Quand les techniques de Grandi, Cesàro ou Abel ne suffisent plus-ce qui est le cas pour la série infinie des entiersun résultat de Ramanujan, a pu finalement trouver une expression rigoureuse grâce à la fonction zêta de Riemann, anticipée par Euler. On s'aperçoit alors que l'expression résultante (-1/12) trouve des applications en physique, aussi bien dans le calcul de l'énergie et de la force du vide quantique (effet Casimir) que, tout à fait indépendamment, dans la théorie des cordes bosoniques ou, plus généralement, dans la modélisation de certains oscillateurs harmoniques. Il semble que les techniques de régularisation qui, chaque fois, lissent la singularité permettent de faire la transition entre des physiques de type différent ou concernant des niveaux de réalité différents. En tout cas, la physique donne à ces résultats mathématiques surprenants, et parfois paradoxaux, non seulement une illustration, mais une pertinence, tandis que les résultats mathématiques permettent à la physique d'échapper aux infinis. Mots clés. Théorie des nombres, séries divergentes, fonction zêta, Grandi, Cesaro, Ramanujan, effet Casimir, théorie des cordes bosoniques