Surfaces quotients et uniformisation

We show that the action of the modular group PSL (2, Z) on the hyperbolic plane H results in a covering on H/PSL (2, Z), which is using a Direchlet domain with "glued" some edges, its compacti cation is the modular surface X (1), the representation of X (1) can not be metrically faithful, for Gn H endowed with the quotient topology can not be extended in R3, however, it re‡ects the existence of three singular points in which the stabilizer is not trivial.In a second step a subgroup of finite index in G = PSL(2, Z) on the hyperbolic plane, we obtain a covering over H/G which its compactification is in a unique way in a surface on the modular curve X (1). Then the Riemann-Hurwitz formula will be applied for the calculation of the genre, and especially to show that the bound is reached by Hurwitz th Klein curve K(7). We temine this section by the Belyi theorem which characterizes Riemann surfaces deFI ned on the number field Q , that these surfaces are actually curves for a sub group of fi nite index in PSL (2, Z).1On montre que l’action du groupe modulaire G = PSL(2;Z) sur le plan hyperbolique H aboutit à un revêtement sur H, qui se représente à l’aide d ’un domaine de Direchlet dont on a "recollé"certains bords, son compacti é est la surface modulaire X (1), la représentation de X (1) ne saurait être métriquement fidèle, car le quotient munie de la topologie quotient n’ est pas prolongeable dans R3, toutefois elle traduit bien l ’existence de trois points singuliers en lesquels le stabilisateur n’est pas trivial. Ensuite on fait agir un sous-groupe d’indice fi ni de PSL(2;Z) sur le plan hyperbolique et on obtient une factorisation, dans laquelle le quotient du plan hyperbolique H par le sous-groupe modulaire est un revêtement au-dessus deG/H qui se compacti e d ’une manière unique en une surface x sur la courbe modulaire X (1). Ensuite la formule de Riemann-Hurwitz sera appliquée pour le calcul du genre, et surtout pour montrer que la borne de Hurwitz est atteinte par la courbe de Klein K (7).On temine cette section par le théorème de Belyi qui caractérise les surfaces de Riemann dé nies sur l corps des rationnels Q, selon lequel ces surfaces sont en fait des courbes associées à un certain sous-groupe d ’indice fi ni dans PSL(2;Z). La dernière section est consacrée au théorème d’uniformisation de Riemann