Transformations hyperboliques et courbes algebriques en genre 2 et 3

The uniformization theorem of Poincaré-Koebe states that any smooth compact Riemann surface of genus $g>1$ is a quotient of the upper half-plane by a Fuchsiangroup. On the other hand, a Riemann surface is also a complexalgebraic curve. In genus 2 and 3, these curves can always berealized as plane curves, i.e as the set of zeros of a homogeneouspolynomial equation $P(x,y,z)=0$ with complex coefficients.In this thesis we deal with the explicit link between these twodescriptions for surfaces of genus 2 and 3 with non-trivial automorphisms.In genus 2, we first deal with surfaces having a non-trivialinvolution. We describe the correspondence between the actions of twogroups, the first acting on the algebraic structures, and the second onthe hyperbolic structures of these surfaces. The relation betweenthese two groups enables us to interpret in terms of Dehn twists andhalf-twists the links between the covers branched over thesame five distinct points of $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$. In particular, theaction of some Dehn twists can be read on the equations.A similar study is done for surfaces having an order 3 automorphism.We then study special algebraic families, in which the surfaces aredefined by a smaller number of parameters than those of the ambient spaces (butnot having necessarily more automorphisms).We then deal with real families. We show in particular that thevarious groups enable us to describe the algebraic and geometric linksbetween surfaces whose real components have different topological types.In genus 3, we study the relations between the equations ofthe four genus 3 doublecovers of a genus 1 curve branched over four given points. We alsodescribe the relations between their hyperbolic structure when theyare tiled by two right-angled hyperbolic hexagons.Le théorèmed'uniformisation de Poincaré-Koebe permet d'affirmer que toutesurface de Riemann compacte de genre $g>1$ est un quotient dudemi-plan de Poincaré par un groupe Fuchsien. D'un autre coté, une surface de Riemann est aussi une courbe algébriquecomplexe. En genres 2 et 3, ces courbes peuvent toujours êtreréalisées comme des courbes planes, i.e l'ensemble des zerosd'une équation polynomiale homogène à coefficients complexes$P(x,y,z)=0$.Dans cette thèse, on s'intéresse au lien explicite entre ces deuxdescriptions pour les surfaces de genres 2 et 3 ayant desautomorphismes non-triviaux.En genre 2, on s'intéresse d'abords aux surfaces ayant uneinvolution non-triviale. On décrit la correspondance entre lesactions de deux groupes opérant l'un sur les structuresalgébriques, l'autre sur les structures hyperboliques de cessurfaces. La relation liant ces deux groupes permet d'interpréteren terme de twists de Dehn et demi-twists les relations entre lesdifférents revêtements ramifiés au dessus de cinq points de$\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, avec notamment une lecture sur leséquations de certains twists de Dehn. On fait une étudesimilaire pour des surfaces ayant un automorphisme d'ordre 3. Onétudie ensuite des familles spéciales algébriques, définies parmoins de paramètres que l'espace ambiant (sans que celacorresponde nécessairement à la présence d'automorphismessupplémentaires). On s'intéresse enfin à des familles réelles.On montre notamment que les différents groupes permettentd'exprimer des relations algebrico-géométriques entre surfacesayant des types topologiques pour la partie réelle différents.En genre 3, nous étudions les relations entre les équations desquatre revêtements doubles de genre 3 d'une courbe de genre 1,ramifiés au dessus de quatre points donnés et montrons comment onpeut aussi en décrire la structure hyperbolique dans le cas oùils sont pavés par deux hexagones hyperboliques droits