Finitely Generated Multifractals Can Display Phase Transitions

A new class of multifractal objects (“skewed” multifractals) is introduced, the mutiplicative generator of which has a finite number of branches of different real-valued depths. Both microscopic and macroscopic scales are represented by such objects, each of these corresponding to a specific thermodynamical regime. In the “diluted” regime, the partition function $Z_t$ is exactly renormalizable which means in the sequel, as is the case in the general multifractal theory, that $t^{-1}$ log $Z_t$ as a non trivial limit as $t$ tends to infinity. In the “condensed” one the partition function converges. Details about the transition between these two regimes are given.Une nouvelle classe de “multifractales” est introduite, pour laquelle le générateur présente un nombre fini de branches de longueur variable à valeurs réelles. Les échelles macroscopiques et microscopiques sont représentables par de tels objets, chacune d'elles correspondant à un régime thermodynamique spécifique. Dans la phase “diluée”, la fonction de partition $Z_t$ est exactement renormalisable, en ce sens (classique) que la limite quand $t\rightarrow \infty$ de $t^{-1}$ log $Z_t$ est non triviale. Dans la phase “condensée” la fonction de partition converge. Les détails thermodynamiques concernant cette transition de phase sont fournis