Diffusion quantique au-delà des systèmes quasi-unidimensionnels

Simulations in the field of quantum nanoelectronics are often restricted to a quasi one-dimensional geometries where the device is connected to the macroscopic world with one-dimensional electrodes. This thesis presents novel numerical methods that lift many of these restrictions, in particular rendering realistic simulations of three-dimensional systems possible.The first part introduces a robust and efficient algorithm for computing bound states of infinite tight-binding systems that are made up of a scattering region connected to semi-infinite leads. The method is formulated in close nalogy to the wave-matching approach used to compute the scattering matrix. It also allows one to calculate edge or surface states, e.g. the so-called Fermi arcs.The second part is dedicated to a new numerical method, based on the Green's function formalism, that allows to efficiently simulate systems that are infinite in 1, 2 or 3 dimensions and mostly invariant by translation. Compared to established approaches whose computational costs grow with system size and that are therefore plagued by finite size effects, the new method allows one to directly reach the thermodynamic limit. It provides a practical route for simulating 3D setups that have so far remained elusive.Both methods are illustrated by applications to several quantum systems(a disordered two-dimensional electron gas, a graphene device...) and topological materials (Majorana states in 1D superconducting nanowires, Fermi arcs in 3D Weyl semimetals...). The last application (resilience of Fermi arcs to disorder) combines all the algorithms that were introduced in this thesis.Les simulations de nanoélectronique quantique sont souvent restreintes à des géométries où un nanosystème de taille fini est connecté au monde macroscopique via des électrodes unidimensionelles. Cette thèse développe des méthodes numériques pour faire fi de ces restrictions.La première partie présente un algorithme robuste et efficace qui calcule les propriétés d'états liés présents dans des systèmes de liaisons fortes construits avec une région de "scattering" connectée à un nombre indéfini d'électrodes. La formulation de la méthode est faite par analogie à la méthode de continuité des ondes. L'algorithme permet de calculer des états de bord ou de surfaces comme les arcs de Fermi.La deuxième partie est dédiée à une nouvelle méthode numérique, basé sur le formalisme des fonctions de Green, qui permet de simuler efficacement des systèmes infinis en 1, 2 ou 3 directions et quasiment invariants par translation. Comparativement aux approches usuelles où le temps de calcul croît avec la taille du système, cette méthode innovante permet d'accéder directement à la limite thermodynamique. Ces développements fournissent une voie pratique pour la simulation d'échantillons 3D qui était jusqu'à maintenant restée insaisissable.Les deux méthodes sont illustrées par des applications sur des systèmes quantiques (un gaz d'électrons bidimensionel, une structure de graphène...) et des matériaux topologiques (fermions de Majorana, arcs de Fermi sur des semimétaux de Weyl...). La dernière application (résistance des arcs de Fermi au désordre) est la plus aboutie étant donné qu'elle requiert tous les algorithmes présentés dans la thèse