Quantum geometry in Spin foams : from the topological BF theory towards general relativity

La gravité quantique à boucles a fourni un cadre d’étude particulièrement bien adapté aux théories de jauge définies sans métrique fixe et invariante sous difféomorphismes. Les excitations fondamentales de cette quantification sont appelées réseaux de spins, et dans le contexte de la relativité générale donnent un sens à la géométrie quantique au niveau canonique. Les mousses de spins constituent une sorte d’intégrale de chemins adaptée aux réseaux de spins, et donc destinée à permettre le calcul des amplitudes de transition entre ces états. Cette quantification est particulièrement efficace pour les théories des champs topologiques, comme Yang-Mills 2d, la gravité 3d ou les théories BF, et des modèles ont aussi été proposés pour la gravité quantique en dimension 4.Nous discutons dans cette thèse différentes méthodes pour l’étude des modèles de mousses de spins.Nous présentons en particulier des relations de récurrence sur les amplitudes de mousses de spins. De manière générique, elles codent des symétries classiques au niveau quantique, et sont susceptible de permettre de faire le lien avec les contraintes hamiltoniennes. De telles relations s’interprètent naturellement en termes de déformations élémentaires sur des structures géométriques discrètes, telles que simplicielles. Une autre méthode intéressante consiste à explorer la façon dont on peut réécrire les modèles de mousses de spins comme des intégrales de chemins pour des systèmes de géométries sur réseau, en s’inspirant à la fois des modèles topologiques et du calcul de Regge. Cela aboutit à une vision très géométrique des modèles, et fournit des actions classiques sur réseau dont on étudie les points stationnaires.Loop quantum gravity has provided us with a canonical framework especially devised for back-ground independent and diffeomorphism invariant gauge field theories. In this quantization the funda-mental excitations are called spin network states, and in the context of general relativity, they give ameaning to quantum geometry. Spin foams are a sort of path integral for spin network states, supposed to enable the computations of transition amplitudes between these states. The spin foam quantization has proved very efficient for topological field theories, like 2d Yang-Mills, 3d gravity or BF theories. Different models have also been proposed for 4-dimensional quantum gravity.In this PhD manuscript, I discuss several methods to study spin foam models. In particular, I present some recurrence relations on spin foam amplitudes, which generically encode classical symme-tries at the quantum level, and are likely to help fill the gap with the Hamiltonian constraints. These relations can be naturally interpreted in terms of elementary deformations of discrete geometric struc-tures, like simplicial geometries. Another interesting method consists in exploring the way spin foam models can be written as path integrals for systems of geometries on a lattice, taking inspiration from topological models and Regge calculus. This leads to a very geometric view on spin foams, and gives classical action principles which are studied in details