Rational Krylov subspace methods for the control and model reductions

Beaucoup de phénomènes physiques sont modélisés par des équations aux dérivées partielles, la discrétisation de ces équations conduit souvent à des systèmes dynamiques (continus ou discrets) dépendant d'un vecteur de contrôle dont le choix permet de stabiliser le système dynamique. Comme ces problèmes sont, dans la pratique, de grandes tailles, il est intéressant de les étudier via un autre problème dérivé réduit et plus proche du modèle initial. Dans cette thèse, on introduit et on étudie de nouvelles méthodes basées sur les processus de type Krylov rationnel afin d'extraire un modèle réduit proche du modèle original. Des applications numériques seront faites à partir de problèmes pratiques. Après un premier chapitre consacré au rappel de quelques outils mathématiques, on s'intéresse aux méthodes basées sur le processus d'Arnoldi rationnel par blocs pour réduire la taille d'un système dynamique de type Multi-Input/Multi-Output (MIMO). On propose une sélection adaptative de choix de certains paramètres qui sont cruciaux pour l'efficacité de la méthode. On introduit aussi un nouvel algorithme adaptatif de type Arnoldi rationnel par blocs afin de fournir une nouvelle relation de type Arnoldi. Dans la deuxième partie de ce travail, on introduit la méthode d'Arnoldi rationnelle globale, comme alternative de la méthode d'Arnoldi rationnel par blocs. On définit la projection au sens global, et on applique cette méthode pour approcher les fonctions de transfert. Dans la troisième partie, on s'intéresse à la méthode d'Arnoldi étendue (qui est un cas particulier de la méthode d'Arnoldi rationnelle) dans les deux cas (global et par blocs), on donnera quelques nouvelles propriétés algébriques qui sont appliquées aux problèmes des moments. On consièdère dans la quatrième partie la méthode de troncature balancée pour la réduction de modèle. Ce procédé consiste à résoudre deux grandes équations algébriques de Lyapunov lorsque le système est stable ou à résoudre deux équations de Riccati lorsque le système est instable. Comme ces équations sont de grandes tailles, on va appliquer la méthode de Krylov rationnel par blocs pour approcher la solution de ces équations. Le travail de cette thèse sera cloturé par une nouvelle idée, dans laquelle on définit un nouvel espace sous le nom de sous-espace de Krylov rationnelle étendue qui sera utilisée pour la réduction du modèle.Many physical phenomena are modeled by PDEs. The discretization of these equations often leads to dynamical systems (continuous or discrete) depending on a control vector whose choice can stabilize the dynamical system. As these problems are, in practice, of a large size, it is interesting to study the problem through another one which is reduced and close to the original model. In this thesis, we develop and study new methods based on rational Krylov-based processes for model reduction techniques in large-scale Multi-Input Multi-Output (MIMO) linear time invariant dynamical systems. In chapter 2 the methods are based on the rational block Arnoldi process to reduce the size of a dynamical system through its transfer function. We provide an adaptive selection choice of shifts that are crucial for the effectiveness of the method. We also introduce a new adaptive Arnoldi-like rational block algorithm to provide a new type of Arnoldi's relationship. In Chapter 3, we develop the new rational global Arnoldi method which is considered as an alternative to the rational block Arnoldi process. We define the projection in the global sense, and apply this method to extract reduced order models that are close to the large original ones. Some new properties and applications are also presented. In chapter 4 of this thesis, we consider the extended block and global Arnoldi methods. We give some new algebraic properties and use them for approaching the firt moments and Markov parameters in moment matching methods for model reduction techniques. In chapter 5, we consider the method of balanced truncation for model reduction. This process is based on the soluytions of two major algebraic equations : Lyapunov equations when the system is stable or Riccati equations when the system is unstable. Since these equations are of large sizes, we will apply the rational block Arnoldi method for solving these equations. In chapter 6, we introduce a new method based on a new subspace called the extended-rational Krylov subspace. We introduce the extended-rational Krylov method which will be used for model reduction in large-scale dynamical systems