Contributions to the analysis of asymptotic properties in optimal control and repeated games

Cette thèse étudie des propriétés limites de problèmes de contrôle optimal (un joueur, en temps continu) et de jeux répétés à somme nulle (à deux joueurs, en temps discret) avec horizon tendant vers l'infini. Plus précisément, nous étudions la convergence de la fonction valeur lorsque la durée du problème de contrôle ou la répétition du jeu tend vers l'infini (analyse asymptotique), et l'existence de stratégies robustes, i.e. des stratégies ԑ-optimales pour guarantir la valeur limite dans tous les problèmes de contrôle de durée suffisamment longue ou dans tous les jeux répétés de répétition suffisamment large (analyse uniforme). La partie sur le contrôle optimal est composée de trois chapitres. Le chapitre 2 est un article de présentation de la littérature récente sur les propriétés à long terme dans divers modèles d'optimisation dynamique. Dans les deux chapitres suivants, nous nous concentrons sur les problèmes de contrôle optimal où le coȗt de la trajectoire est évalué par une mesure de probabilité générale sur R_+, au lieu de la moyenne de T-horizon (moyenne de Cesàro) ou de la λ-escompté (moyenne d'Abel). Dans le chapitre 3, nous introduisons une condition de régularité asymptotique pour une suite de mesures de probabilité sur R_+ induisant un horizon tendant vers l'infini (en particulier, T tendant vers l'infini ou λ tendant vers zéro). Nous montrons que pour toute suite d'évaluations satisfaisant cette condition, la suite associée des valeurs du problème de contrôle converge uniformément si et seulement si cette suite est totalement bornée pour la norme uniforme. On en déduit que pour des problèmes de contrôle définis sur un domaine invariant compact et vérifiant une certaine condition de non-expansivité, la fonction valeur définie par une mesure de probabilité générale converge quand l'évaluation devient suffisamment régulière. En outre, nous prouvons dans le chapitre 4 que sous les mȇmes conditions de compacité et de non-expansivité, il existe des contrôles ԑ-optimaux pour tous les problèmes où le coȗt de la trajectoire est évalués par une mesure de probailité suffisamment régulières. La partie sur les jeux répétés se compose de deux chapitres. Le chapitre 5 est consacré à l'étude d'une sous-classe de jeux absorbants à information incomplète d'un côté. Le modèle que nous considérons est une généralisation du Big match à information incomplète d'un côté introduit par Sorin (1984). Nous démontrons l'existence de la valeur limite, du Maxmin, du Minmax, et l'égalité du Maxmin et de la valeur limite. Dans le chapitre 6, nous établissons plusieurs résultats concernant des jeux récursifs. Nous considérons d'abord les jeux récursifs avec un espace dénombrable d'états et prouvons que si la famille des fonctions valeur des jeux à n étapes est totalement bornée pour la norme uniforme, alors la valeur uniforme existe. En particulier, la convergence uniforme des valeurs des jeux à n étapes implique la convergence uniforme des valeurs des jeux escomptés. à l'aide d'un résultat dans Rosenberg et Vieille (2000), on en déduit un théorème taubérien uniforme pour les jeux récursifs. Deuxièmement, nous appliquons le résultat d'existence de la valeur uniforme à une classe des modèles général de jeux répétés et nous prouvons que la valeur limite et le Maxmin existent et sont égaux. Ces jeux répétés sont des jeux récursifs avec signaux où le joueur 1 peut toujours déduire le signal du joueur 2 de son propre signal.This dissertation studies limit properties in optimal control problems (one-player, in continuous time) and in zero-sum repeated games (two-player, in discrete time) with large horizons. More precisely, we investigate the convergence of the value function when the duration of the control problem or the repetition of the game tends to infinity (the asymptotic analysis), and the existence of robust strategies, i.e. ԑ-optimal strategies to guarantee the limit value in all control problems with sufficiently long durations or in all repeated games with sufficiently large repetitions (the uniform analysis). The part on optimal control is composed of three chapters. Chapter 2 is a survey article on recent literature of long-term properties in various models of dynamic optimization. In the following two chapters, we focus on optimal control problems where the running cost is evaluated by a general probability measure, instead of the usual T-horizon average (Cesàro mean) or the λ-discount (Abel mean). In Chapter 3, we introduce an asymptotic regularity condition for a sequence of probability measures on positive real numbers which induces a horizon tending to infinity (in particular T tending to infinity or λ tending to zero) for the control problem. We prove that for any sequence of evaluations satisfying this condition, the associated sequence of value function of the control problem converges uniformly if and only if this sequence is totally bounded for the uniform norm. We deduce that for control problems defined on a compact invariant domain and satisfying some non expansive condition, the value function defined by a general probability measure converges as the evaluation becomes sufficiently regular. Further, we prove in Chapter 4 that under the same compact and non expansive conditions, there exist ԑ-optimal controls for all problems where the running cost is evaluated by a sufficiently regular probability measure. The part on repeated games consists of two chapters. Chapter 5 is devoted to the study of a subclass of absorbing games with one-sided incomplete information. The model we consider is a generalization of Big match with one-sided incomplete information introduced by Sorin (1984). We prove the existence of the limit value, Maxmin, Minmax, and that Maxmin is equal to the limit value. In Chapter 6, we establish several results for recursive games. We first consider recursive games with a countable state space and prove that if the family of n-stage value functions is totally bounded for the uniform norm, then the uniform value exists. In particular, the uniform convergence of n-stage values implies the uniform convergence of λ-discounted values. Combined with a result in Rosenberg and Vieille (2000), we deduce a uniform Tauberian theorem for recursive games. Second, we use the existence result of uniform value to a class of the generalized models of repeated games and prove that both the limit value and Maxmin exist and are equal. This class of repeated games are recursive games with signals where player 1 can always deduce the signal of player 2 from his own along the play