Dynamical approaches to Sharp Sobolev inequalities

Les inégalités de Sobolev, depuis leur preuve en 1938, ont été l'objet d'une intense recherche, et ont permis de nombreuses applications dans des domaines variés de l'analyse et des probabilités. Elles sont notamment au cœur de l'étude des équations aux dérivées partielles, car elles traduisent des propriétés fondamentales des dérivées au sens faible : l'intégrabilité d'une dérivée au sens faible implique la régularité au sens fort. Les dérivées au sens faible, ou au sens des distributions, constituent un cadre particulièrement efficace dans la résolution d'EDP, en permettant par exemple de donner du sens à la dérivée d'une onde de choc, phénomène se manifestant même dans des modèles physiques très simples. Pour la majorité des applications, connaître la forme optimale d'une inégalité ne présente pas beaucoup plus d'intérêt que d'avoir une estimation des constantes impliquées dans l'inégalité. Toutefois, la recherche d'inégalités optimales est une entreprise riche pour (au moins) deux raisons. La première, c'est que les inégalités fonctionnelles sont naturellement liées aux EDP, et donc aux modèles physiques. Les fonctions optimales sont alors exactement les solutions d'énergie minimale du problème physique sous-jacent. L'autre raison est le lien très fort entre les inégalités de Sobolev et la géométrie de l'espace ambiant. Par exemple, l'inégalité isopérimétrique dans l'espace euclidien est équivalente à un cas de l'inégalité de Sobolev classique. Le manuscrit de thèse est divisé en 5 chapitres. Les deux premiers constituent l'introduction, d'abord en Français, puis en Anglais, dans laquelle les concepts et outils utilisés dans les chapitres suivants sont définis. Ainsi, on rappelle quelques résultats intéressants de la théorie de Brunn-Minkowski, puis du transport optimal, ces deux théories étant le point de départ du chapitre 3. Ensuite, on présente la méthode de Bakry et Émery, qui opère en quelque sorte une renversement des intérêts : au lieu d'utiliser des inégalités de Sobolev pour étudier le comportement en temps long de solutions à certaines équations, comme la chaleur, on utilise les solutions de ces équations pour montrer des inégalités de Sobolev. Les chapitres 3, 4, et 5 sont des reproduction plus ou moins verbatim des articles écrits au cours de cette thèse. Dans le chapitre 3, on utilise une inégalité de Borell-Brascamp-Lieb améliorée, prouvée dans l'introduction grâce au transport optimal, afin de démontrer de nouvelles inégalités à trace, c'est-à-dire qui impliquent les valeurs d'une fonction au bord de son domaine de définition. La clé de cette étude est l'introduction d'une convolution infimale. Dans le chapitre 4, un article écrit en collaboration avec Ivan Gentil, les variétés riemanniennes sont à l'honneur. Grâce à la théorie des semigroupes de Markov, on montre des inégalités de type Poincaré à poids et Beckner à poids en étudiant les solutions d'EDP paraboliques linéaires, avec des hypothèses relativement faibles sur les variétés en question. Les variétés de dimension effective négative (mais à courbure strictement positive) constituent un nouveau cas intéressant d'application des méthodes développées dans le chapitre. Finalement, le chapitre 5 présente un cadre efficace pour démontrer des inégalités de Sobolev optimales dans des domaines convexes de l'espace euclidien, et facilement adaptable au cas des variétés riemanniennes. Les équations considérées dans ce chapitre sont de nature assez différente à celle du chapitre 4, car elles sont non linéaires, et avec des contraintes au bord, ce qui empêche complètement l'utilisation des techniques de semigroupes. Malgré cela, les résultats obtenus dans ce cadre sont sensiblement similaires à ceux du cas linéaireSobolev inequalities have been, every since their original proof in 1938, a very active research interest, and have lead to very many applications in various fields of analysis and probability. Notably, they are at the center of the study of partial derivative equations, because they describe a fundamental property of weak derivatives: integrability of a weak derivative translates to strong regularity. Weak derivatives, also known as distributional derivatives, constitute a good setting for the study of PDEs, allowing for instance to make sense of the derivative of a shockwave, a very common physical phenomena. In most applications, knowing the sharp form of an inequality is not particularly better than having estimates of the sharp constants. However, proving sharp inequalities is interesting in itself for at least two reasons. The first one is their link with PDEs, and thus with physical models. Optimal functions are then exactly ground states of the physical problem the model describes. The other reason is the very strong relationship between Sobolev inequalities and the geometry of the underlying space. For example, the isoperimetric inequality in the Euclidean space is equivalent to a special case of the classical Sobolev inequality. The manuscript is divded in 5 chapters. The first two make up the introduction, firt in French and then in English. Concepts and tools used in the other chapters are defined therein, such as some elementary results from the Brunn-Minkowski theory, then from optimal transport, both of those being the starting point of chapter 3. Then, we showcase the Bakry-Émery method, which constitutes an interesting reversal: instead of using Sobolev to study long-term behavior of solutions to certain PDEs, like the heat equation, we use these equations to prove Sobolev inequalities. Chapters 3 to 5 are almost verbatim reproductions of articles written during the thesis. In chapter 3, we use an improved Borell-Brascamp-Lieb inequality, proved in the introduction using optimal transport, to prove new trace inequalities on convex domains of the Euclidean space. The key to this study is the introduction of an infimal convolution. In chapter 4, which was written with Ivan Gentil, Riemannian manifolds are studied. Thanks to the theory of Markov semigroups, weighted Poincaré inequalities as well as weighted Beckner inequalities are proved using solutions to linear parabolic PDEs, with relatively weak hypotheses on the manifolds at hand. Manifolds with negative effective dimension (but with positive Ricci curvature) are an exciting new application of the methods developped in the chapter. Lastly, we construct in chapter 5 an efficient setting to prove sharp Sobolev inequalities in convex domains of the Euclidean space, with applications to manifolds in mind. The equations considered in this chapter are rather different then those in chapter 4, since they are non linear, and with boundary conditions, which renders semigroup thoery completely useless. Despite of that, the results are surprisingly similar to the linear cas