Applying NewC Scheme And Adjoint State Method to Parameter Identification of 1D Open-Channel Flow

利用數值模式求解de Saint-Venant微分方程式模擬一維河川水理演算時，時常在超臨界流與亞臨界流交界的跨臨界流(transcritical flow)區發生數值不穩定或不收斂的問題。本研究引進可以數值穩定模擬跨臨界流河川變量流的NewC法。NewC法採用水位在半節點、流量在整節點評估的交錯網格點差分配置，利用隱式有限差分法離散，由連續方程式獲得半節點水位以兩側流量表示的方程式，代入簡化「位變加速度項」(convective acceleration)的動量方程式，得到三個整節點流量的聯立方程組，以上、下游各一個流量邊界條件，先求解各整數網格點的流量，在代回各連續方程式差分式求解水位；迭代非線性係數，和試誤流量邊界條件推估的水位邊界條件。相較於其他可以跨臨界流模擬河川變量流的數值模式，NewC算式除了穩定性的優勢外，不需計算福祿數、迭代決定模擬條件，計算效率亦高。 應用數值模式於天然河川演算變量流時，因為初始條件、邊界條件、側入流量條件、包含微小損失的河床曼寧糙度係數參數等因素均含不確定誤差，造成模擬結果與觀測值的差異，且隨著模擬時間增加，此差異可能持續增加。本研究假設模式僅包含參數不確定性，由de Saint-Venant控制方程式導出對應的伴隨狀態方程式，利用最小化模擬水位與觀測水位差異平方和目標函數的方式，檢定模式參數。利用原始方程式時間正向積分，求解同化窗(assimilation windows)時段內的水位、流量狀態變數；再利用伴隨方程式時間逆向積分，求解同化窗時段內的伴隨狀態變數，並且計算目標函數對於參數的梯度。最後，以牛頓法和擬牛頓法，求解使目標函數最佳化的參數。 利用兩組已知曼寧糙度係數參數的數值模擬的結果；假設不同的水位測站位置，擷取水位站的水位「觀測時間序列」；採用不同的參數分區策略；共組成十一個觀測系統模擬試驗(OSSE)，利用上述數值模式、伴隨狀態法梯度模式演算，再以牛頓法與擬牛頓法算式最佳化推估參數；比較反演得到的參數和真實參數，說明參數檢定的收斂效率與限制。Using a hydrodynamic numerical model that solves De Saint-Vanent equations for one-dimension free-surface flow often encounters acutely numerical vibration in transcritical flow that is between supercritical and subcritical flow causing model to be unstable. In this research, citing NewC scheme which could simulate the unsteady transcritical flow without numerical instability. NewC scheme applies staggered grids, finite difference method, and reduction of convective acceleration to solve the tri-diagonal coefficient matrix of discharge with boundary conditions on each end, then transfer to water level. NewC scheme take advantage of stability, high efficiency, and doesn’t have to compute Frouds number. Applying numerical model to simulate the unsteady flow would always meet the error between computing result and observation because of uncertainties about initial condition, boundary condition or minor loss of Manning roughness coefficient. The error would grow with time increasing. In this research, we assume that there is only parameter uncertainty in model, then derive the adjoint state equations and use the minimum sum of error square to identify the parameters of model. We use two set of numerical result to be the observation data, then take 11 set of observing system simulating experiments by using adjoint state method, Newton’s method, and quasi-Newton’s method to compare and discuss the results of parameter identification.目 錄 摘要 i 目錄 iii 表目錄 v 圖目錄 vi 第一章 緒論 1.1問題概述 1 1.2研究目的與方法概述 2 1.3文獻回顧 3 1.4研究內容簡述 6 第二章 NEWC河川一維洪水演算模式 2.1控制方程式 7 2.2跨臨界流數值穩定問題 8 2.3 NewC演算式 10 2.4 NewC法的邊界條件與求解 13 2.5初始條件─穩態流況求解的特例 16 2.6 NewC演算式模擬分析 16 2.6.1穩態流況案例分析 17 2.6.2非穩態流況案例分析 18 第三章 伴隨狀態法與參數檢定 3.1應用伴隨狀態法檢定模式參數 22 3.2伴隨狀態法 23 3.3伴隨狀態法的離散與求解 29 3.3.1控制方程式的離散與求解 29 3.2.2目標函數對參數梯度的計算 32 3.4參數檢定 32 第四章 案例分析 4.1觀測系統模擬實驗與相關的案例分析 34 4.2單一曼寧n值河道的參數檢定 41 4.2.1案例1陡坡單站單參數檢定 42 4.2.2案例2非感潮緩坡單站單參數檢定 46 4.2.3案例3感潮緩坡單站單參數檢定 50 4.3雙曼寧n值河道的參數檢定 53 4.3.1案例4參數分區較佳的雙站雙參數檢定 53 4.3.2案例5鄰近真實參數分區分界點的雙站雙參數檢定 57 4.3.3案例6偏處同一分區的雙站雙參數檢定 60 4.4參數個數不確定的參數檢定 64 4.4.1案例7參數個數低估的參數檢定 65 4.4.2案例8參數個數高估的參數檢定 68 4.5觀測誤差不確定的參數檢定 72 第五章 結論與建議 結論與建議 74 附錄A 二分法 76 附錄B 牛頓法 78 附錄C 擬牛頓法 79 參考文獻 80 表目錄 表4-1單曼寧係數與雙曼寧係數OSSE的環境設定 35 表4-2參數檢定演算案例清單 40 表4-3陡坡上單站參數檢定，曼寧係數、目標函數與梯度的演算結果 43 表4-4緩坡上非感潮河段，單站、單參數檢定，演算曼寧係數、目標函數與梯度的結果 46 表4-5 感潮河段、單站、單參數檢定，曼寧係數、目標函數與梯度的演算結果 50 表4-6 參數分區適當、雙站、雙參數檢定，上、下游河段曼寧係數與目標函數的演算結果 55 表4-7參數分區較差(上游觀測站鄰近真實參數分界點)、雙站、雙參數檢定，上、下游河段曼寧係數與目標函數的演算結果 59 表4-9雙參數河道、雙站、單參數檢定曼寧係數與目標函數的演算結果 66 表4-10存在觀測誤差、單站、單參數檢定，曼寧係數與目標函數的演算結果 72 圖目錄 圖2-1交錯網格配置狀態變數與係數示意圖 11 圖2-2 NewC河川演算流程圖 15 圖2-3穩態矩形河道模擬測試結果 17 圖2-4上游邊界洪峰流量歷線 18 圖2-5下游邊界潮汐水位歷線 18 圖2-6分時水位分布圖 19 圖2-7各定點處流量對時間分布圖 19 圖2-8各定點處水位對時間分布圖 20 圖2-9各定點處福祿數對時間分布圖 20 圖3-1正、反向演算的數值求解比較示意圖 30 圖3-2伴隨狀態法修正模式參數流程圖 33 圖4-1上游邊界洪峰流量歷線 34 圖4-2下游邊界潮汐水位歷線 35 圖4-3第一組OSSE單曼寧係數觀測資料水位模擬結果 36 圖4-4第一組OSSE單曼寧係數觀測資料流量模擬結果 36 圖4-5第一組OSSE單曼寧係數觀測資料Fr模擬結果 37 圖4-6第二組OSSE雙曼寧係數觀測資料水位模擬結果 38 圖4-7第二組OSSE雙曼寧係數觀測資料流量模擬結果 38 圖4-8第二組OSSE雙曼寧係數觀測資料Fr模擬結果 39 圖4-9給定初始曼寧猜值n=0.035時，模擬計算與觀測間的水位差 41 圖4-10給定初始曼寧猜值n=0.035時，模擬計算與觀測間的流量差 42 圖4-11陡坡上單站、單參數檢定，目標函數的演算結果 43 圖4-11陡坡上單站、單參數檢定，曼寧係數的演算結果 44 圖4-13陡坡上單站，反向演算伴隨狀態變數 的變化 44 圖4-14陡坡上單站，反向演算伴隨狀態變數 的變化 45 圖4-15緩坡上非感潮河段單站單參數檢定目標函數的演算結果 47 圖4-16緩坡上非感潮河段、單站、單參數檢定曼寧係數的演算結果 48 圖4-17緩坡上非感潮河段、單站，反向演算伴隨狀態變數 的變化 48 圖4-18緩坡上非感潮河段、單站，反向演算伴隨狀態變數 的變化 49 圖4-19緩坡上感潮河段、單站、單參數檢定，目標函數的演算結果 51 圖4-20緩坡上感潮河段、單站、單參數檢定，曼寧係數的演算結果 51 圖4-21緩坡上感潮河段、單站，反向演算伴隨狀態變數 的變化 52 圖4-22緩坡上感潮河段、單站，反向演算伴隨狀態變數 的變化 52 圖4-23以19公里分界點，給定初始曼寧猜值上游段n=0.035、下游段n=0.015時，模擬計算與觀測間的水位差 54 圖4-23以19公里分界點，給定初始曼寧猜值上游段n=0.035、下游段n=0.015時，模擬計算與觀測間的流量差 54 圖4-25參數分區適當、雙站、雙參數檢定，目標函數的演算結果 56 圖4-26參數分區適當、雙站、雙參數檢定，曼寧係數的演算結果 56 圖4-27以23公里為分界點，給定初始曼寧猜值上游段n=0.033、下游段n=0.022時，模擬計算與觀測間的水位差 57 圖4-28以23公里為分界點，給定初始曼寧猜值上游段n=0.033、下游段n=0.022時，模擬計算與觀測間的流量差 58 圖4-29參數分區較差(上游觀測站鄰近真實參數分界點)進行雙站雙參數檢定目標函數演算結果 59 圖4-30參數分區較差(上游觀測站鄰近真實參數分界點)、雙站、雙參數檢定，曼寧係數演算結果 60 圖4-31以30公里為分界點，給定初始曼寧猜值上游段n=0.035、下游段n=0.033時，模擬計算與觀測間的水位差 61 圖4-32以30公里為分界點，給定初始曼寧猜值上游段n=0.035、下游段n=0.033時，模擬計算與觀測間的流量差 62 圖4-33參數分區較差(兩觀測站同在其一真實分區)、雙站、雙參數檢定，目標函數演算結果 63 圖4-34參數分區較差(兩觀測站同在其一真實分區)、雙站、雙參數檢定，曼寧係數演算結果 64 圖4-35給定初始曼寧猜值n=0.04時，模擬計算與觀測間的水位差 65 圖4-36給定初始曼寧猜值n=0.04時，模擬計算與觀測間的流量差 66 圖4-37雙參數河道、雙站、單參數檢定，目標函數的演算結果 67 圖4-38雙參數河道、雙站、單參數檢定，曼寧係數的演算結果 67 圖4-39以19公里為分界點，給定初始曼寧猜值上游段n=0.03、下游段n=0.01時，模擬計算與觀測間的水位差 69 圖4-40以19公里為分界點，給定初始曼寧猜值上游段n=0.03、下游段n=0.01時，模擬計算與觀測間的流量差 70 圖4-41單參數河道、雙站、雙參數檢定，目標函數的演算結果 71 圖4-42單參數河道、雙站、雙參數檢定，曼寧係數的演算結果 71 圖4-43存在觀測誤差、單站、單參數檢定，目標函數的演算結果 73 圖4-44存在觀測誤差、單站、單參數檢定，曼寧係數的演算結果 73 圖A-1利用二分法求解函數f(x)實根示意圖 76 圖B-1利用牛頓法求解函數f(x)實根示意圖 7