Contribution à l'étude mathématique et numérique de la simulation des grandes échelles

Transformations which preserve the set of the solutions of Navier-Stokes equations (NS) are calledsymmetries of NS. They form a Lie group called the symmetry group of NS. This group plays animportant role in the description of the physics of the equations (conservation law, wall law, . . . )and turbulence models should remain invariant under the action of this group. In the first part ofthe thesis, an analysis of some standard models from the point of view of symmetries is carried out.Next, a class of subgrid models which, on the one hand, respect the symmetry group of NS and, onthe other hand, conform to the second law of thermodynamics is built. A simple model of the classis then numerically tested and validated. The analysis and construction of models are extended tothe case of thermal convection.In the second part of the thesis, the possibility of integrating LES (large eddy simulation) in analgorithm belonging to the family of MAN (asymptotic numerical method) is explored. MAN is aperturbation technique which consists in computing a solution as a formal series. A first algorithmassociating MAN and LES and using a technique of homotopy is built and tested. Because of thelimits of this first algorithm, the use of an other algorithm based on a time series developmentis studied. To increase the range of validity of the series, or to extract an analytic solution fromthis series when it diverges, the Borel resummation method is proposed. This method is applied toreduced models obtained from Navier-Stokes equations.Les transformations qui conservent l’ensemble des solutions des équations de Navier-Stokes (NS) sont appelées les symétries de NS. Elles forment un groupe de Lie dénommé groupe de symétrie de NS. Ce groupe jouent un rôle important dans la description de la physique des équations (loi de conservation, loi de paroi, ...). Ainsi, les modèles de turbulence devraient être invariant sous l’action de ce groupe. Dans la première partie de la thèse, on effectue alors une analyse de quelques modèles de sous-maille courants sous l’angle des symétries, puis, on construit une classe de modèles de sous-maille qui, d’une part, respectent le groupe de symétrie de NS et, d’autre part, sont conformes au second principe de la thermodynamique. Un modèle très simple de la classe est alors testé et validé numériquement. L’analyse et la construction de modèles sont également étendues au cas de la convection thermique. Dans la seconde partie de la thèse, on explore la possibilité d’intégrer la LES (simulation des grandes échelles) dans un algorithme de la famille MAN (méthode asymptotique numérique). La MAN est une technique numérique de perturbation, qui consiste à calculer la solution sous forme d’une série entière. Dans un premier temps, on construit et on teste un algorithme associant la MAN et la LES, avec l’aide d’une technique d’homotopie. Face aux limites de ce premier algorithme, on étudie dans un second temps l’utilisation d’un autre algorithme où on effectue un développement en série temporelle. Pour augmenter le domaine de validité de la série obtenue, ou bien pour calculer une solution analytique à partir de la série lorsque celle-ci diverge, on propose d’effectuer la méthode de resommation de Borel-Laplace. Dans les exemples numériques, on applique cette méthode à des modèles réduits issus des équations de Navier-Stoke