Higher structures: gerbes and Nijenhuis forms

Tese de doutoramento em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de CoimbraThe thesis is devoted to higher structures, which is a generic name for all those collections of $n$-ary brackets or products reducing for $n=2$ to the ordinary ones. Among examples of those are $2$-groups, and their related notions of principal bundles, i.e. non-Abelian gerbes, and $L_\infty$-structures. These two major examples are the central objects of the two chapters of the present work. In the first chapter, we give a precise and general description of gerbes valued in arbitrary crossed module and over an arbitrary differential stack. We do it using only Lie groupoids, hence ordinary differential geometry, by considering differential stacks as being Lie groupoids up to Morita equivalence. We prove the coincidence with the existing notions by comparing our construction with non-Abelian cohomology. More precisely, we introduce the key notion of extension of Lie groupoids valued in a crossed-module. We relate it with Dedecker's non-Abelian $1$-cocycles, and we then show that Morita equivalence amounts to co-boundaries, paving the way for a general definition of gerbes valued in a crossed-module over a differential stack. In the second chapter, we develop the theory of Nijenhuis forms on $L_\infty$-algebras. First, we recall a convenient notion of Richardson-Nijenhuis bracket on the graded symmetric vector valued forms on a graded vector space, bracket for which $L_{\infty}$-algebras are simply Poisson elements. Weak Nijenhuis vector valued forms for a given $L_{\infty}$-algebra are defined to be forms of degree $0$ deforming (i.e. taking bracket) that Poisson element into an other Poisson element. Nijenhuis forms are those forms ${\mathcal N}$ for which deforming twice by ${\mathcal N}$ is like deforming once by a form ${\mathcal K}$ called the square of ${\mathcal N }$. We obtain in this context an infinite hierarchy of $L_{\infty}$-algebras. Among examples of such Nijenhuis deformations are the Euler map on an arbitrary $L_{\infty}$-algebra or Poisson and Maurer Cartan elements on a differential graded Lie algebra. A classification of Nijenhuis forms on anchor-free Lie $2$-algebras can be completed. We also show that there is, under adequate conditions, a one to one correspondence between the Nijenhuis vector valued forms $\mathcal{N}$ with respect to the Lie $2$-algebra associated to a Courant algebroid and Nijenhuis $\mathcal{C}^{\infty}$-linear maps on the Courant algebroid itself. We give examples of Nijenhuis vector valued forms on the Lie $n$-algebras associated to $n$-plectic manifolds. We also explain how Nijenhuis tensors on a Lie algebroid are indeed Nijenhuis forms of some Gerstenhaber algebra, considered as an $L_\infty$-algebra. For the latter $L_{\infty}$-algebra structure, moreover, $\Omega N$-structures and Poisson-Nijenhuis structrures can also be seen as Nijenhuis forms.Esta tese trata de estruturas de ordem superior, designação genérica para todas as coleções de parêntesis ou produtos n-uplos que, no caso de n = 2, se reduzem aos usuais. Exemplos destas estruturas incluem os 2-grupos e as noções com eles relacionadas de brados principais, isto é, gerbes não-Abelianos, e estruturas L1. Estes dois exemplos importantes são os objetos centrais dos dois capítulos desta dissertação. No primeiro capítulo, apresentamos uma descrição geral e precisa de gerbes com valores em módulos cruzados arbitrários e sobre stacks diferenciais arbitrários. Para esta descrição usamos grupóides de Lie, ou seja, apenas geometria diferencial clássica, considerando os stacks diferenciais como sendo grupóides de Lie, módulo equivalência de Morita. Provamos que a descrição apresentada conduz a uma noção que é equivalente às já existentes, comparando a nossa construção com a cohomologia não-Abeliana. Mais exatamente, introduzimos a noção chave de extensão de grupóide de Lie com valores num módulo cruzado, relacionamo-la com 1-cociclos não-Abelianos de Dedecker e provamos, em seguida, que a equivalência de Morita se traduz em cobordos, abrindo assim o caminho para uma de nição geral de gerbes com valores num módulo cruzado sobre um stack diferencial. No segundo capítulo, desenvolvemos a teoria de formas de Nijenhuis em álgebras L1. Começamos por apresentar uma de nição de parênteses de Richardson-Nijenhuis para formas simétricas graduadas a valores vetoriais, num espaço vetorial graduado. Para este parênteses, as estruturas L1 são simplesmente elementos de tipo Poisson. Dada uma álgebra L1, uma forma a valores vetoriais, de grau zero, que deforma um elemento de Poisson num outro elemento de Poisson, diz-se uma forma fraca de Nijenhuis. Aqui, a deformação consiste em tomar o parênteses da forma fraca de Nijenhuis com o elemento. As formas de Nijenhuis N são aquelas para as quais deformar duas vezes por N é o mesmo que deformar uma vez por uma forma K, que é dita o quadrado de N. Neste contexto, obtemos uma hierarquia in nita de álgebras L1. De entre os exemplos de deformações de Nijenhuis, contam-se a aplicação de Euler numa álgebra L1 arbitrária, bem como os elementos de Poisson e de Maurer Cartan numa álgebra de Lie diferencial graduada. Efetuamos a classi cação das formas de Nijenhuis em 2-álgebras de Lie com âncora nula. Mostramos também que, sobre certas condições, existe uma correspondência biunívoca entre as formas de Nijenhuis a valores vetoriais, na 2-álgebra de Lie associada a um algebr óide de Courant, e as aplicações de Nijenhuis C1-lineares no mesmo algebróide de Courant. Apresentamos exemplos de formas de Nijenhuis a valores vetoriais nas n-álgebras de Lie associadas a variedades n-pléticas. Explicamos também como tensores de Nijenhuis num algebróide de Lie podem ser vistos como formas de Nijenhuis numa certa álgebra de Gerstenhaber, considerada como álgebra L1. Além disso, para esta última estrutura de álgebra L1, estruturas N e estruturas de Poisson-Nijenhuis podem também ser vistas como formas de Nijenhuis