Extremal isosystolic metrics for compact surfaces. Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle

Abstract. Given a closed, orientable surface M of genus ≥ 2, one seeks an extremal isosystolic metric on M: this is a Riemannian metric that induces on M the smallest possible area, subject to the constraint that the corresponding systole, or shortest length of any non-contractible closed curve, is a fixed, positive number. The geometric problem is rendered into an analytic one by reducing it to solving a nonlinear, partial differential equation with free boundaries. Examples are shown, to illustrate some possible candidates for solutions of the problem in special cases. Résumé. Sur une surface M compacte orientable de genre ≥ 2, on cherche une métrique isosystolique extrémale: c’est une métrique riemannienne d’aire la plus petite possible sous la contrainte que la systole, i.e. la courbe fermée lisse non contractible de longueur minimale, soit un nombre positif fixé. Le problème géométrique est transforme ́ en un problème ana-lytique en le réduisant a ̀ la résolution d’une équation aux dérivées partielles non-linéaire a ̀ frontière libre. Des exemples sont donnés pour illustrer des candidats possibles a ̀ être solution du problème dans des cas particuliers