Inégalités systoliques optimales sur les surfaces

A systolic inequality on a closed manifold M of dimension n is an inequality of the formDOLLARsys n (M, g) ≤ C · vol(M,g)DOLLARtrue for any Riemannian metric g on M , where sys(M, g) is the systole and C = C(M) is a constant independent of g. The most famous systolic inequalities have been demonstrated on the torus T^2 by C. Loewner, on the real projective plane RP^2 by P. Pu and on the Klein bottle K^2 by C. Bavard. We establish in this thesis new optimal systolic inequalities on surfaces.In a first work, we prove the existence of an optimal upper bound on the length of the shortest closed geodesic on punctured sphere with three or four ends endowed with a complete Riemannian metric of finite area. This bound does not depend on the curvature but only on the area of the punctured sphere. In both cases, we describe the extremal metrics. Then, we establish upper bounds for the punctured spheres endowed with a reversible or not necessarily reversible Finsler metrics. These bounds are expressed in term of the Holmes-Thompson area of the punctured sphere. We also represent a roughly asymptotically optimal upper bound on the length of the shortest closed geodesic for spheres with a large number of ends.In a second work, we show that the local supremum of the systole on the space of Alexandrov surfaces with curvature at most −1 is reached by a hyperbolic surface, without any area assumption. We end with an extension of this result for manifolds of dimension 3.Une inégalité systolique sur une variété fermée M de dimension n est une inégalité de la formeDOLLARsys^n (M, g) ≤ C · vol(M, g)DOLLAR valable pour toute métrique riemannienne g sur M , où sys(M, g) désigne la systole et C = C(M ) est une constante indépendante de g. Les inégalités systoliques les plus célèbres ont été démontrées sur le tore T^2 par C. Loewner, sur le plan projectif réel RP^2 par P. Pu et sur la bouteille de Klein K^2 par C. Bavard. On établit dans cette thèse de nouvelles inégalités systoliques optimales sur des surfaces.Dans un premier travail, on démontre l’existence d’une borne supérieure optimale pour la longueur de la plus courte géodésique fermée sur la sphère trouée avec trois ou quatre bouts munie d’une métrique riemannienne complète d’aire finie. Cette borne ne dépend pas de la courbure mais de l’aire de la sphère trouée. On décrit, dans les deux cas, les métriques extrémales. On établit ensuite des bornes pour les sphères trouées munies d’une métrique finslérienne réversible ou non-nécessairement réversible. Ces bornes sont exprimées en fonction de l’aire de Holmes-Thompson de la sphère trouée. On représente aussi une borne supérieure asymptotique sur la longueur de la plus courte géodésique pour des sphères avec un grand nombre de bouts.Dans un deuxième travail, on démontre que le supremum local de la systole sur l’espace des surfaces d’Alexandrov à courbure au plus −1 est atteint par une surface hyperbolique. Ceci sans aucune hypothèse sur l’aire. On termine par une extension de ce résultat pour des variétés de dimension 3