Perfect Riemann surfaces in small genus

Ce travail est consacré à la recherche de surfaces de Riemann (\it compactes) extrê\-mes (i.e. maxima locaux) pour la systole, ou tout au moins parfaites. En genre 4, on donne une nouvelle surface extrême et deux surfaces parfaites non extrêmes (ce sont les premiers exemples de telles surfaces en genre $\leq 10$). La méthode consiste à réaliser géométriquement les groupes d'automorphismes à 4 points de branchements. En effet, le lieu des points fixes dans l'espace de Teichmüller $T_g$ d'un tel groupe, dépend d'un paramètre complexe qu'on peut alors ajuster pour maximiser la systole. On étudie ensuite les propriétés variationnelles dans $T_g$ des surfaces obtenues. Par extension de cette méthode, on trouve également une nouvelle surface extrême en genre 6, ainsi qu'une suite infinie de surfaces parfaites non extrêmes de genre $g>3$. En outre, on retrouve, de manière unifiée, les surfaces déjà connues en genre $\leq 5$. La méthode employée pour la recherche de surfaces parfaites, permet de trouver parallèlement un certain nombre de surfaces eutactiques, qui sont intéressantes à classifier en elles-mêmes puisque ce sont les points critiques de la fonction systole. Enfin, le dernier chapitre, développant une toute autre approche, concerne une méthode purement algébrique qui permet de redémontrer l'extrémalité des surfaces respectivement de Bolza et de Klein.This thesis is devoted to the search of extremal compact Riemann surfaces (i.e. which are local maximals) for the systole, or at least perfect surfaces. In genus~4, we construct a new extremal surface and two perfect non-extremal surfaces (these are the first examples of such surfaces in genus $\leq 10$). The idea of the method consists to realise geometrically automorphism groups which act with 4 branching points. Indeed, the locus of fixed points (in Teichmüller space $T_g$) by such a group, depends on a complex paramater that we can then ajust to maximize the systole ; we study therefore the variational properties in $T_g$ of these candidates. Extending this method, we construct a new extremal surface of genus 6, as an infinite sequence of perfect non-extremal surfaces of genus $>3$. Moreover we rediscover by this way the already-known surfaces of genus $\leq 5$. The method employed to search perfect surfaces, also gives many eutactics surfaces which are interesting in that that they are the critical points of the systole function. Finally, the last chapter, concerns a completely different point of view and developps a purely algebraic approach which gives a new proof of the extremality of both surfaces, that of Bolza and that of Klein