Solution par minimisation convexe du probleme de Cauchypour les systemes de lois de conservation avec entropie convexe

We show that, for first-order systems of conservation laws with a strictly convex entropy,in particular for the very simple so-called "inviscid" Burgers equation,it is possible to address the Cauchy problem by a suitable convex minimizationproblem, quite similar to some problems arising in optimal transport or variational mean-field game theory.In the general case, we show that smooth, shock-free, solutions can be recoveredon some sufficiently small interval of time. In the special situation of the Burgers equation, we furthershow that every "entropy solution" (in the sense of Kruzhkov)including shocks, can be recovered, for arbitrarily long time intervals.On montre que, pour les systemes du premier ordre de lois de conservation avec une entropie strictement convexe,en particulier pour la tres simple equations de Burgers sans viscosite, il est possible d'attaquer le probleme de Cauchypar un probleme de minimisation convexe approprie, assez semblable a un probleme de transport optimal ou de jeua champ moyen. Dans le cas general, on montre que les solutions lisses, sans choc, peuvent etre retrouvees sur desintervalles de temps assez petits. Dans la situation particuliere de l'equation de Burgers, nous montrons de plusque tout "solution entropique" (au sens de Kruzhkov), y compris avec choc, peut etre reconstituee, sur des intervallesde temps arbitrairement longs