Dynamische Absicherungsstrategien in illiquiden Finanzmärkten

In this thesis, we address the problem of constructing effective hedging strategies against the financial risk of writing a contingent claim in an illiquid financial market. Mathematically, this amounts to study various stochastic optimal control problems with suitable nonlinear dynamics. We introduce a price impact model which accounts for finite market depth, market tightness and finite resilience whose coupled bid- and ask-price dynamics induce convex liquidity costs. We provide existence of an optimal solution to the classical problem of maximizing expected utility from terminal liquidation wealth at some finite planning horizon. In a specific configuration of our model, it turns out that the resulting singular optimal stochastic control problem reduces to a deterministic singular control problem. Rather than studying the associated Hamilton-Jacobi-Bellmann PDE, we exploit convex analytic and calculus of variations techniques which allow us to construct the solution explicitly and to describe analytically the free boundaries of the action- and non-action regions in the underlying state space. In the second part, we relate the optimal singular stochastic control problem of utility-based hedging in our original illiquid market model to a considerably simpler classical linear quadratic stochastic optimal tracking problem of a frictionless hedging strategy with constant coefficients. We solve this problem explicitly for general predictable target hedging strategies. The consideration of general predictable reference processes is made possible by the use of a convex analytic approach along the lines of Pontryagin's maximum principle instead of the more common dynamic programming methods. From a financial point of view, our results allow for an intuitively appealing interpretation and yield sensible hedging strategies in illiquid markets. In the third part, we provide a probabilistic formulation of and solution to a more general class of linear quadratic stochastic tracking problems with stochastic coefficients and stochastic terminal state constraint. Proposing a suitable time consistent approximation of the optimization problem allows us to tackle the final state constraint which induces singular terminal conditions on the underlying backward stochastic differential equations (BSDEs). Our approach also allows us to provide necessary and sufficient conditions under which the constrained stochastic optimization problem admits a finite value. We show that the optimal policy is given by a similar form to the one obtained in the constant coefficient case.Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Konstruktion effektiver Absicherungsstrategien gegen die finanziellen Risiken, die beim Verkauf von Finanzoptionen in illiquiden Finanzmärkten entstehen. Mathematisch bedeutet dies die Analyse verschiedener stochastischer optimaler Kontrollprobleme mit nicht-linearen Dynamiken. Wir führen ein Preiseinflussmodell ein, das sogenannte endliche Markttiefe, -enge sowie -elastizität berücksichtigt und dessen gekoppelten Dynamiken der Geld- und Briefkurse konvexe Liquiditätskosten erzeugen. Wir zeigen die Existenz einer optimalen Lösung für das klassische Nutzenmaximierungsproblem des erwarteten Endvermögens bei endlichem Investitionszeitraum. In einer bestimmten Modellkonfiguration zeigt sich, dass sich das ergebende optimale singuläre stochastische Kontrollproblem auf ein singuläres deterministisches Kontrollproblem zurückführen lässt. Anstelle die dazugehörige Hamilton-Jacobi-Bellmann PDGL zu untersuchen, verfolgen wir einen konvex-analytischen Variationsrechnungsansatz der uns schließlich erlaubt, die Lösung explizit zu bestimmen und die freien Ränder der aktiven und passiven Kontrollregionen im zugrundeliegenden Zustandsraum analytisch zu beschreiben. Im zweiten Teil führen wir das optimale singuläre stochastische Kontrollproblem zur Berechnung nutzenbasierter Absicherungsstrategien in unserem ursprünglichen illiquiden Finanzmarktmodell auf ein erheblich einfacheres klassisches linear-quadratisches stochastisches optimales Zielverfolgungsproblem einer friktionslosen optimalen Absicherungsstrategie mit konstanten Koeffizienten zurück. Wir lösen dieses Problem explizit für allgemeine vorhersehbare Absicherungsstrategien als Zielstrategie. Die Betrachtung allgemeiner Referenzstrategien wird anstatt der üblicheren dynamischen Programmierungsmethoden durch einen konvex-analytischen Ansatz ähnlich zu Pontryagins Maximumsprinzip ermöglicht. Aus finanztechnischer Sicht erlauben unsere Resultate eine intuitiv ansprechende Interpretation und beschreiben sinnvolle Absicherungsmöglichkeiten in illiquiden Finanzmärkten. Im dritten Teil stellen wir eine probabilistische Formulierung sowie Lösung einer allgemeineren Klasse stochastischer linear-quadratischer optimaler Zielverfolgungsprobleme mit stochastischen Koeffizienten sowie stochastischer Endbedingung vor. Um die stochastische Endbedingung, die zu singulären Endwerten in den zugrundeliegenden stochastischen Rückwärtsgleichungen führt, mathematisch handhabbarer zu machen, schlagen wir eine geeignete zeitkonsistente Approximation des Optimierungsproblems vor. Unsere Vorgehensweise erlaubt die Bestimmung von notwendigen und hinreichenden Bedingungen unter denen das Optimierungsproblem einen endlichen Lösungswert besitzt. Zudem erweist sich, dass die optimale Lösung von ähnlicher Form ist wie im vorherigen Fall mit konstanten Koeffizienten