Efficient hedging in incomplete markets under model uncertainty

Wir betrachten einen Investor, der eine Option verkauft hat und den maximal erwarteten gewichteten Verlust minimieren möchte. Dabei wird das Maximum über eine Familie von Modellen, das heißt sogenannten objektiven Wahrscheinlichkeitsmaßen, gebildet. Die Minimierung erfolgt über alle zulässigen Absicherungsstrategien, welche einer vorgegebenen Kapitaleinschränkung genügen. Der Verlust wird vermöge einer strikt konvexen Verlustfunktion gewichtet. Die minimierende Strategie nennen wir robust-effizient. Das Problem, eine robust-effiziente Strategie zu bestimmen, ist eng mit dem statistischen Problem des Testens einer zusammengesetzten Hypothese gegen eine zusammengesetzte Alternative verbunden: Hat man eine Lösung für das statistische Problem, das heißt einen maximin-optimalen Test, so kann man eine modifizierte Option definieren, so daß die Superhedging-Strategie für die modifizierte Option robust-effizient ist, vgl. Theorem. Umgekehrt kann man einen maximin-optimalen Test vom Wert der robust-effizienten Strategie zum Auszahlungszeitpunkt ableiten. Das mathematische Kernstück dieser Arbeit ist die allgemeine Lösung des statistischen Testproblems mit Methoden der konvexen Dualität und Spieltheorie. Von dem bekannten klassischen Testproblem unterscheidet sich das in dieser Arbeit betrachtete Problem insofern als die Macht eines Tests anstelle durch die Identität durch eine strikt konkave zustandsabhängige Nutzenfunktion definiert ist. Zudem ist unsere einzige wesentliche Annahme, daß die Hypothese sowie die Alternative dominiert sind, das heißt die Hypothese und die Alternative sind weder stetig parametrisierbar noch notwendigerweise von der Form der Umgebungen wie sie typischerweise in der robusten Statistik verwendet werden vorausgesetzt. Die Lösung des Testproblems in dieser Arbeit erfolgt vermöge des zentralen Begriffs eines ungünstigsten Paares aus Hypothese und Alternative: Der maximin-optimale Test ist unter allen einfachen Tests für das ungünstigste Paar zu finden. Dies ist das zentrale Resultat des Kapitels über maximin-optimale Tests. Falls das ungünstigste Modell äquivalent zu der Familie aller Modelle ist, so ist der einfache Test für das ungünstigste Paar eindeutig und bereits maximin-optimal. Falls das ungünstigste Modell nicht äquivalent zur Familie ist, so approximieren wir den maximin-optimalen Test durch eine Folge von einfachen Tests, die durch eingebettete Teilprobleme definiert werden können. Die Anwendung unserer Resultate über maximin-optimale Tests auf den Spezialfall des zur robust-effizienten Absicherung assoziierten Testproblems erlaubt uns, die optimale modifizierte Option vermöge eines ungünstigsten Paares von Modell und Preisregel zu beschreiben. Ein ungünstigstes Modell maximiert das minimale Verlustrisiko über alle Modelle. Wir setzen Erreichbarkeit der modifizierten Option mit Äquivalenz der ungünstigsten Preisregel zum ungünstigsten Modell miteinander in Verbindung. Dies zeigt, daß die ungünstigste Preisregel im allgemeinen nicht Äquivalent zum Referenzmodell ist - ein Sachverhalt, den wir in den Anwendungen wieder aufgreifen. Im zweiten Teil dieser Arbeit konstruieren wir die robust-effiziente Strategie in verschiedenen Anwendungen. Um die allgemeinen Resultate des vorhergehenden Teils nutzen zu können, müssen wir die effiziente Strategie für jedes fixierte Modell sowie ein ungünstigstes Modell bestimmen. Nötigenfalls vergrößern wir dafür zunächst die Familie der Modelle in geeigneter Weise, um die Existenz eines ungünstigsten Modells zu garantieren. Wir wenden das Prinzip der dynamischen Programmierung in einer Weise an, die an das jeweils zugrundeliegende Modell angepasst ist und bestimmen so die effiziente Strategie.We consider an investor who has sold a contingent claim and intends to minimize the maximal expected weighted shortfall. Here, the maximum is taken over a family of models and the minimum is taken over all admissible hedging strategies that satisfy a given cost constraint. We call the associated minimizing strategy robust-efficient. The problem to determine a robust-efficient strategy is closely related to the statistical problem of testing a composite hypothesis against a composite alternative. The hypothesis is given by the family of pricing rules and the alternative coincides with the family of models. The mathematical centerpiece of this thesis is the solution of the statistical testing problem on a general level by means of convex duality and game-theoretical methods. The problem differs from the classical testing problem in that the power of a test is defined in terms of a strictly concave state dependent utility function rather than the identity mapping. Furthermore, our only essential assumption is that the alternative and the hypothesis are dominated, i.e., the alternative and the hypothesis need neither be parameterized nor of the form of the neighborhoods typically considered in robust statistics. Similar to the classical notion of least-favorable pairs of prior-distributions on the hypothesis respectively alternative, we introduce the pivotal notion of a least-favorable pair of elements of the hypothesis respectively alternative. The main result of our analysis on maximin-optimal tests is that the maximin-optimal test can be found among the simple-optimal test for a least-favorable pair. If the least-favorable pair is equivalent to the dominating measure, the simple optimal test is the unique maximin-optimal test. If the latter condition is not fulfilled, we approximate the maximin-optimal test by a sequence of explicitly constructed simple optimal tests. These results clarify the general structure of the robust-efficient hedging strategy. We also show that a least-favorable pair can be decomposed into a worst-case model and a worst-case pricing rule for this model. The worst-case model has a very direct economic interpretation, whereas the worst-case pricing rule is a more mathematical auxiliary tool. If the worst-case model dominates all models, the efficient strategy associated to the fixed worst-case model is robust-efficient. For fixed model, the worst-case pricing rule yields the optimal modified claim and allows us to make some statements about its attainability. In the second part of this thesis, we explicitly construct the robust-efficient strategy in a series of applications. For this, the task remains to determine the efficient strategy for each fixed model and a worst-case model. First, we enlarge the family of models in order to establish existence of a worst-case model. Then we derive the dynamics of the price process, the efficient strategy and the associated risk under each (fixed) model. If the model is incomplete, we adapt the dynamic programming principle to the specific dynamics of the model to compute or approximate the efficient strategy