ON THE SMOOTH WHITNEY FIBERING CONJECTURE

Nouvelle version avec changement de titre et matériel supplémentaire du preprint "The smooth Whitney fibering conjecture and open books in Whitney and Bekka stratifications" (2016).We improve upon the first Thom-Mather isotopy theorem for Whitney stratified sets. In particular , for the more general Bekka stratified sets we show that there is a local foliated structure with continuously varying tangent spaces, thus proving the smooth version of the Whitney fiber-ing conjecture. A regular wing structure is also shown to exist locally, for both Whitney and Bekka stratifications. The proofs involve integrating carefully chosen controlled distributions of vector fields. As an application of our main theorem we show the density of the subset of strongly topologically stable mappings in the space of all smooth quasi-proper mappings between smooth manifolds, an improvement of a theorem of Mather.Nous améliorons le premier théorème d'isotopie de Thom-Mather pour les ensembles stratifiés de Whitney. En particulier pour les ensembles stratifiés de Bekka, plus généraux, nous montrons qu'il a une structure feuilletée locale avec des espaces tangents variant continûment, ainsi démontrant la version lisse de la conjecture de fibration de Whitney. Une structure d'ailes régulières est aussi démontrée localement pour des stratifications de Whitney et de Bekka. Les preuves nécessitent l'intégration de distributions de champs de vecteurs contrôlées soigneusement choisies. Comme une application de notre théorème principal nous montrons la densité du sou-ensemble des applications fortement topologiquement stables dans l'espace des applications lisses quasi-propes entre deux variétés lisses, un renforcement d'un théorème de Mather