Domaines d'opérateurs représentés comme intégrales de résolvantes

RésuméSi V est un op'erateur d'un Banach X, fermé, de domaine dense, d'ensemble résolvant contenant R−∗ et tel que supλ > 0∥(I + λV)−1 ∥ < ∞, si H est une fonction de la forme H(z) = a + ∝ (z(1 + λz)) dμ(λ) (avec a ⩾ 0 et μ mesure positive sur R+ vérifiant ∝ (dμ(t)(1 + t)) < ∞), nous avons défini, dans un précédent article, H(V) comme le plus petit prolongement fermé de l'opérateur de domaine D(V) défini par: x ϵ D(V) → ax + ∝ V(I + λV)−1 x dμ(λ). (Dans le cas particulier où H(z) = zα avec 0 < α < 1, on obtient ainsi Vα au sens où il a été défini par Balakrishnan.)Nous démontrons ici que si H et K sont des fonctions du type précédent et si (H · K) est du même type (H · K)(V) = H(V) · K(V) (au sens des produits d'opérateurs non partout définis).Nous donnons aussi des caractérisations précises de D[H(V)] et notamment la caractérisation suivante généralisant celle donnée par H. Komatsu dans le cadre des puissances fractionnaires: H(V) = s − lim∈→+ ∫ 1]∈,∞[(λ) V (I+λV)−1 dμ(λ) + μ({0}) V + aINous en déduisons, en particulier, un théorème taubérien