Critères de rationalité et application à la série génératrice d'un système d'équations à coefficients dans un corps local

RésuméCet article comporte deux parties. Dans la première partie, on donne un théorème sur la rationalité des diagonales de certaines séries rationnelles, et on calcule ces diagonales par le théorème des résidus et la méthode des résultants. Dans la seconde partie, on définit la fonction zéta locale d'un système de m équations; on montre que c'est une fonction rationnelle dans Cm, déterminée par le théorème de désingularisation de Hironaka (Ann. of Math. 79 (1964), 109–326). A partir de ces résultats, on obtient une nouvelle démonstration de la conjecture de Borevitch et Chafarevith (“Théorie des Nombres, Gauthier-Villars, Paris, 1967) sur la rationalité de la série de Poincaré d'un système de congruences, et on calcule le dénominateur de cette série