Points de petite hauteur sur les courbes elliptiques

RésuméWe study lower bounds for the Néron–Tate height of a Q-rational pointPof infinite order of an elliptic curve E over Q. This work, which follows a previous work by the author, shows that another transcendence construction, which is a variant of a proof introduced by D. Masser (1989) gives sharper bounds than those proved in (David, 1992), provided that one works not only at several places of multiplicative type bad reduction simultaneously but also uses the periodicity of the elliptic functions associated with a (suitable) model of the given curve as in (David, 1992). It is also remarked that the approach of M. Hindry and J. Silverman (1990) leads essentially to the same bounds. As a corollary, one obtains that the “5 th successive minimum” tends to infinity with the height of the curve. Nous étudions des minorations de la hauteur de Néron–Tate d'un point Q-rationnelPd'ordre infini d'une courbe elliptique E définie sur Q. Ce texte, qui fait suite à travail précédent que nous avons effectué sur le même sujet, montre qu'une autre construction de transcendance, qui est en fait une variante d'une preuve introduite par D. Masser (1989) donne des minorations plus fines que celles obtenues dans (David, 1992). Comme dans ce texte, il convient de travailler simultanément avec plusieurs places de mauvaise réduction de type multiplicatif convenablement choisies, et d'utiliser la périodicité des fonctions elliptiques associées à un (“bon”) modèle de la courbe E. On note également que l'approche de M. Hindry et J. Silverman (1990) conduit essentiellement aux mêmes bornes. Un corollaire de nos résultat est que le “5-ième minimum successif ” du réseau de Mordell–Weil (muni de la métrique de Néron–Tate) tends vers l'infini avec la hauteur de la courbe