Problème de Lehmer sur les courbes elliptiques à multiplications complexes

We consider the problem of lower bounds for the canonical height on elliptic curves, aiming for the conjecture of Lehmer. Our main result is an explicit version of a theorem of Laurent (who proved this conjecture for elliptic curves with CM up to a epsilon exponent) using arithmetic intersection, enlightening the dependence with parameters linked to the elliptic curve. If GRH holds, then this dependence is reduced to the degree of the base field of the elliptic curve and the relative degree of the algebraic non-torsion point we consider. We also provide an explicit estimate for the Faltings height of an elliptic curve with CM, thanks to an explicit version of Dirichlet's theorem on arithmetic progressions, in some sense.Nous étudions le problème de minoration de la hauteur canonique sur les courbes elliptiques. Notre résultat principal utilise des méthodes d’intersection arithmétique pour retrouver un résultat de Laurent, qui démontrait la conjecture de Lehmer pour les courbes elliptiques à multiplications complexes à un exposant epsilon près, tout en explicitant complètement sa dépendance en divers paramètres liés à la courbe elliptique. Si on suppose l'hypothèse de Riemann généralisée, alors la minoration d'un point algébrique d'ordre infini sur une courbe elliptique à multiplications complexes ne fait intervenir que le degré sur le corps des rationnels du corps de base de la courbe elliptique, et le degré relatif du corps engendré par les coordonnées de ce point. Nous explicitons également une majoration de la hauteur de Faltings d'une telle courbe elliptique, grâce à une version explicite du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (en quelque sorte)