Dahlberg's theorem in higher co-dimension.

76 pages.In 1977 the celebrated theorem of B.\, Dahlberg established that the harmonic measure is absolutely continuous with respect to the Hausdorff measure on a Lipschitz graph of dimension $n-1$ in $\mathbb R^n$, and later this result has been extended to more general non-tangentially accessible domains and beyond. In the present paper we prove the first analogue of Dahlberg's theorem in higher co-dimension, on a Lipschitz graph $\Gamma$ of dimension $d$ in $\mathbb R^n$, $d < n-1$, with a small Lipschitz constant. We construct a linear degenerate elliptic operator $L$ such that the corresponding harmonic measure $\omega_L$ is absolutely continuous with respect to the Hausdorff measure on $\Gamma$. More generally, we provide sufficient conditions on the matrix of coefficients of $L$ which guarantee the mutual absolute continuity of $\omega_L$ and the Hausdorff measure.Dans son célèbre théorème de 1977, B. Dahlberg a prouvé que pour les domaines de $\mathbb R^n$ bornés par un graphe lipschitzien de dimension $n-1$, la mesure harmonique est absolument continue par rapport \`a la mesure de surface,résultat qui a ensuite été étendu aux domaines avec accès non-tangentiel, et au delà.Dans ce papier on démontre le premier analogue de ce théorème pour le complémentaire d'un graphe lipschitzien $\Gamma$ de dimension $d < n-1$ avec une petite constante de Lipschitz. On construit un opérateur linéaire elliptique dégénéré $L$ dont la mesure harmonique associée $\omega_L$ est absolument continue par rapport à la mesure de Hausdorff $\mathcal H^d$ sur $\Gamma$. Plus généralement, on donne des conditions suffisantes sur la matrice des coefficients de $L$ pour que $\omega_L$ et $\mathcal H^d_{\vert \Gamma}$ soient mutuellement absolument continues