Zusammenhang zwischen stochastischen und deterministischen Differentialgleichungen

Stochastic differential equations (SDEs) have been subject of extensive research ever since the foundation was laid by Kiyoshi Itô in his brilliant work from 1944. We investigate some relations between SDEs and their deterministic counterparts. The first is the stabilizing effect the noise can have on an explosive ordinary differential equation (ODE). Pioneer work was done by Scheutzow (1993), in which he provides an example in R2 of an ODE that explodes for all initial condition in finite time, while the corresponding SDE is non-explosive for each initial condition almost surely. He specifies and validates a Lyapunov function, whose existence implies the existence of an invariant probability measure. The same phenomenon was proven by Mattingly and Herzog (2015) for a different equation. We further investigate their example to show the existence of a random attractor, which is even stronger than the existence of an invariant measure. In Chapter 2 we prove explosion in finite time for the generated local stochastic flow, therefore a random attractor cannot exists in this case. Chapter 3 provides an explosive ODE that is stabilized by noise, in the sense that there exists a global weak set attractor. The special case, in which the equation is of gradient type, is treated in Chapter 4. A second relation is the convergence of the empirical measure of an interacting particle system towards a partial differential equation (PDE). Such a law of large numbers for empirical measures have been shown in various papers, we were particularly inspired by the ones of Oelschläger (1985) and (1989). In Chapter 5 we show such a macroscopic limit result for a particle system, in which particles interact through an SDE describing their motion and through their branching rates. The long range interaction in the spatial component leads to a non-local term in the limiting PDE. The proof follows the standard approach but uses tightness for the mollified empirical measure. Finally, in Chapter 6, we derive the Fisher-Kolmogorov-Petrowskii-Piskunov (FKPP) equation, i.e. ∂t u = ∆u + u(1 − u), from a system of proliferating Brownian particles. We use a semigroup approach with is new in this framework and leads to uniform convergence and a more general assumption on the interaction range.Stochastische Differentialgleichungen (SDGen) sind Teil intensiver Forschung seit Kiyoshi Itô die Grundlagen dazu in seiner brillanten Arbeit von 1944 gelegt hat. Wir untersuchen einige Zusammenhänge zwischen SDGen und ihren deterministischen Pendants. Der erste ist der stabilisierende Effekt, den das Rauschen auf eine explosive gewöhnliche Differentialgleichung (GDG) haben kann. Pionierarbeit wurde von Scheutzow (1993) betrieben. Er untersucht eine zweidimensionale GDG, die für alle Anfangsbedingungen explodiert, während bei der zugehörigen SDG keine Anfangsbedingung fast sicher explodiert. Er gibt eine Lyapunov Funktion an, woraus sogar folgt, dass ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß existiert. Dasselbe Phänomen wurde von Mattingly und Herzog (2015) für andere Differentialgleichungen gezeigt. Wir haben deren Gleichungen untersucht mit dem Ziel die Existenz eines zufälligen Attraktors zu zeigen, welche die Existenz eines invarianten Wahrscheinlichkeitsmaßes impliziert. In Kapitel 2 zeigen wir, dass der generierte lokale stochastische Fluss explodiert, weshalb in diesem Fall kein Attraktor existiert. Kapitel 3 beinhaltet eine explodierende GDG, die durch Rauschen stabilisiert wird, derart, dass ein globaler schwacher Mengenattraktor existiert. Der Fall, in dem der Drift durch ein Gradienten gegeben ist, wird in Kapitel 4 behandelt. Ein weiterer Zusammenhang ist die Konvergenz des empirischen Maßes eines wechselwirkenden Teilchensystems gegen eine partielle Differentialgleichung (PDG). Solch ein Gesetz der großen Zahlen für das empirische Maße wurde bereits in mehreren Arbeiten gezeigt, wobei wir besonders von denen von Oelschläger (1985) und (1989) inspiriert wurden. In Kapitel 5 beweisen wir einen solchen Grenzübergang für ein Teilchensystem, in dem Teilchen durch die SDG, die ihre Bewegung beschreibt, und durch ihre Verzweigungsrate interagieren. Die lange Interaktionsreichweite führt zu einem nicht-lokalem Term in der PDG. Der Beweis folgt der Standardmethode, aber benutzt Straffheit für das geglättete empirische Maß. Schlussendlich leiten wir in Kapitel 6 die Fisher-Kolmogorov-Petrowskii-Psikunov Gleichung, ∂t u = ∆u + u(1 - u), als Grenzwert eines Teilchensystems bestehend aus Brownschen Teilchen, die sich vermehren, her. Dabei benutzen wir die in diesem Zusammenhang unübliche Halbgruppentheorie um uniforme Konvergenz und eine allgemeinere Bedingung an die Interaktionsreichweite zu erhalten.DFG, RTG 1845, Stochastic Analysis with Applications in Biology, Finance and Physic