Multiscale Analysis of Stochastic Partial Differential Equations

A stochastic partial differential equation (SPDE) is a partial differential equation containing a random (noise) term. The study of SPDEs is an exciting topic which brings together techniques from probability theory, functional analysis, and the theory of partial differential equations. Stochastic partial differential equations appear in several different applications, like random evolution of systems with a spatial extension (random interface growth, random evolution of surfaces, fluids subject to random forcing) or stochastic models where the state variable is infinite dimensional (for example, a curve or surface). The solution to a stochastic partial differential equations may be viewed in several manners. One can view a solution as a random field (set of random variables indexed by a multidimensional parameter). Alternatively, in the case where the SPDE is an evolution equation, the infinite dimensional point of view consists in viewing the solution at a given time as a random element in a function space and thus view the SPDE as a stochastic evolution equation in an infinite dimensional space. In the pathwise point of view one tries to give a meaning to the solution for (almost) every realization of the noise and then view the solution as a random variable on the set of (infinite dimensional) paths thus defined. All equations considered are parabolic nonlinear SPDEs perturbed by additive forcing. Near a change of stability, we can use the natural separation of time-scales, in order to derive simpler equations for the evolution of the dominant pattern. As these equations describe the amplitudes of dominant pattern, they are referred to as amplitude equations. This work is based on one hand on work by Blömker, Hairer, and Pavliotis and Roberts for the Burgers' equation driven by degenerate noise (i.e. noise does not act directly on the dominant pattern). On the other hand it discusses the observation of Axel Hutt and collaborators for the Swift-Hohenberg equation with degenerate noise. Where they established that constant noise in space leads to a deterministic amplitude equation by using a formal argument based on center manifold theory. The aim of this thesis is to establish rigorously amplitude equations for quite general classes of SPDEs with quadratic or cubic nonlinearities. In the examples we investigate whether additive degenerate noise leads to stabilization of the solutions, or not.Stochastische partielle Differentialgleichungen (SPDEs) sind partielle Differentialgleichungen (PDE), die einen stochastischen Rauschterm enthalten. Das Feld der SPDEs verbindet Techniken aus den Bereichen Wahrscheinlichkeitstheorie, Funktionalanalysis und PDE. Sie tauchen in verschiedensten Modellen auf, wie zum Beispiel Oberflächenwachstum oder Fluide, und beschreiben eine räumlich ausgedehnte Struktur in einem unendlich dimensionalen Funktionenraum. Das Ziel dieser Dissertation ist die rigorose Approximation komplizierter Modelle durch Amplitudengleichungen. Anhand von Beispielen wird untersucht, ob additives Rauschen zu Stabilisierungseffekten führen kann. Alle untersuchten Modelle sind parabolische nichtlineare SPDEs mit additivem weißen Rauschen. In der Nähe eines Stabilitätswechsels wird die natürliche Trennung der Zeitskalen ausgenutzt, um die Amplitude der dominierenden Moden bzw. Muster zu beschreiben. Daher heißt diese Approximation Amplitudengleichung. Die Resultate dieser Dissertation greifen zurück auf Arbeiten von Blömker, Hairer und Pavliotis bzw. Roberts, welche die Burgers' Gleichung mit degeneriertem Rauschen untersuchen, welches nicht direkt auf die dominanten Moden wirkt. Die Dissertation diskutiert auch einen rigorosen Beweis für eine Beobachtung von Axel Hutt und Koautoren für die Swift-Hohenberg Gleichung mit degeneriertem Rauschen. Hier kann räumlich konstantes Rauschen zu einer deterministischen Amplitudengleichung führen, die jedoch durch Rauschen stabilisiert wird