Norm attaining functions: linear and multilinear operators and polynomials

A lo largo de esta tesis, estudiamos problemas relacionados con la densidad de funciones que alcanzan la norma. Mediante técnicas de linealización a través de productos tensoriales, obtenemos resultados del tipo Lindenstrauss, es decir, de densidad de funciones cuyas extensiones al bidual alcanzan su norma. Tratamos, además, estos problemas en el marco de ideales de operadores multilineales. Dado X un espacio de Banach cuyo dual es separable y tiene la propiedad de aproximación, probamos que el conjunto de polinomios homogéneos de X en un espacio dual Y' cuya extensión de Aron-Berner alcanza la norma, es denso en todo el espacio. Para ello establecemos una fórmula integral para la dualidad entre tensores y polinomios homogéneos. Extendiendo la dualidad al espacio de polinomios de grado a lo sumo k, obtenemos una fórmula integral análoga a la del caso homogéneo. Luego, bajo las mismas hipótesis que antes sobre los espacios de salida y de llegada, probamos teoremas del tipo Lindenstrauss para el espacio de polinomios de grado a lo sumo k y para el álgebra de funciones holomorfas en la bola abierta B°x y uniformemente continuas en la bola cerrada Bx. Con las misma técnicas, obtenemos un resultado análogo para el espacio de operadores multilineales simétricos. En todos los casos anteriores, probamos que los resultados del tipo Lindenstrauss también se satisfacen si las funciones toman valores en cualquier espacio Z con la propiedad (β) de Lindenstrauss. Por otro lado, mostramos que el ya conocido teorema de Lindenstrauss multilineal sobre densidad de operadores N-lineales cuyas extensiones de Arens alcanzan la norma (aquí, sin hipótesis adicionales sobre los espacios de salida y de llegada), se extiende a cualquier ideal de operadores N-lineales que verifique cierta hipótesis de estabilidad. Como consecuencia de este resultado, en el caso de operadores bilineales y de formas trilineales obtenemos el teorema de Lindenstrauss para cualquier ideal. También, abordamos una versión cuantitativa (del tipo Bollobás) de estos resultados. Mostramos que un resultado del tipo Lindenstrauss-Bollobás no se satisface con total generalidad en ningún ideal de multilineales. Haciendo uso de ciertos preduales de espacios de sucesiones de Lorentz, mostramos ejemplos en los cuales no se verifica un resultado del tipo Bishop-Phelps polinomial y multilineal simétrico, pero sí se verifican nuestros resultados del tipo Lindenstrauss (es decir, las funciones que alcanzan la norma no son densas en el espacio, pero aquellas cuyas extensiones al bidual alcanzan la norma sí lo son). Estos mismos espacios son contraejemplos a resultados del tipo Lindenstrauss-Bollobás. Mostramos también, un ejemplo para funciones holomorfas a valores vectoriales en el cual no se verifica Bishop-Phelps pero sí se verifica Lindenstrauss. Analizamos una versión fuerte de los teoremas de Lindenstrauss y Bishop-Phelps en el álgebra de funciones holomorfas uniformemente continuas en Bx, al considerar, en este espacio, la norma dada por ǁfǁs = sup{ ǁf(x)ǁ : ǁxǁ ≤ s} para 0 < s ≤ 1.On this thesis, we study problems related to the density of norm-attaining functions. By means of linearization techniques through tensor products, we obtain Lindenstrauss-type results of density of functions whose extensions to the bidual attain their norms. We also treat these problems in the context of ideals of multilinear mappings. Given a Banach space X whose dual is separable and has the approximation property, we prove that the set of homogeneous polynomials from X to a dual space Y' whose Aron-Berner extensions attain the norm, is dense in the whole space. For this purpose we stablish an integral formula for the duality between tensor products and homogeneous polynomials. Extending the duality to the space of polynomials of degree less than or equal to k, we obtain an analogous integral formula. Then, under the same hypothesis on the domain and range spaces, we prove Lindenstrauss-type theorems for the space of polynomials of degree less than or equal to k and for the algebra of holomorphic functions in the open unit ball B°x which are uniformly continuous in the closed unit ball Bx. Using the same techniques, we obtain an analogous result for the space of symmetric multilinear mappings. We prove that all these Lindenstrauss-type results also hold for functions with values in any Banach space Z with the property (β) of Lindenstrauss. On the other hand, we show that the already known multilinear Lindenstrauss theorem about density of N-linear mappings whose Arens extensions attain the norm (here, without the additional hypothesis on the domain and range spaces), can be extended to any ideal of N-linear mappings satisfying certain stability hypothesis. As a consequence of this result, we obtain the Lindenstrauss theorem for any ideal of bilinear mappings and trilinear forms. Also, we address a quantitative (Bollobás-type) version of these results.We show that a Lindenstrauss-Bollobás-type theorem is not satisfied with full generality in any ideal of multilinear mappings. Making use of preduals of Lorentz sequence spaces, we exhibit examples in which there is no Bishop-Phelps theorem for polynomials and symmetric multilinear mappings, but our Lindenstrauss-type theorems apply (that is, the norm-attaining functions are not dense in the whole space, but those whose extensions to the bidual attain the norm, are dense). The same spaces are counterexamples to Lindenstrauss-Bollobás-type results. We also show an example for vector-valued holomorphic functions, in which there is no Bishop-Phelps theorem but the Lindenstrauss theorem is satisfied. We study a strong version of the Lindenstrauss and Bishop-Phelps theorems in the algebra of holomorphic functions which are uniformly continuous in Bx, considering, in this space, the norm given by ǁfǁs = sup{ ǁf(x)ǁ : ǁxǁ ≤ s} para 0 < s ≤ 1.Fil:Mazzitelli, Martín Diego. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina