Faisceaux équivariants stables sur les variétés toriques

This PhD thesis deals with the problem of construction of stable equivariant reflexive sheaves on toric varieties. This work is motivated by the question of classification of vector bundles on compact complex manifolds.This thesis consists of three parts. In the first part, we study the stability of equivariant logarithmic tangent sheaves TX(−logD) where X is a projective toric variety and D a reduced divisor. The main result of this part is the classification of reduced divisors D and polarizations L on X such that the equivariant logarithmic tangent sheaf TX(−logD) is (semi)stable with respect to L when X is a smooth toric variety of Picard rank two. In the second part, for an equivariant reflexive sheaf on a polarized toric variety, we study the stability of its reflexive pullback along a toric fibration.We show that stability (resp. unstability) is preserved under such pullbacks by someadiabatic polarizations. In the case where the sheaf is semistable, under local freeness assumptions, we provide a necessary and sufficient condition on the graded object to ensurestability of the pulled back sheaf. In the last part, we study the singular locus of equivariant reflexive sheaves. We construct an explicit equivariant reflexive sheaf whose singularlocus is an irreducible subvariety of codimensionat least three.Le problème abordé dans cette thèse est celui de la construction de faisceaux réflexifs équivariants stables sur les variétés toriques. Ce travail est motivé par la question de classification des fibrés vectoriels sur les variétés complexes compactes.Cette thèse est formée de trois parties. Dans la première partie, nous étudions la stabilité des faisceaux tangents logarithmiques équivariants TX(−logD) ou X est une variété torique projective et D un diviseur réduit. Le résultat principal de cette partie est la classification complète des diviseurs réduits D et des polarisations L sur X tels que le faisceau tangent logarithmique TX(−logD) est (semi)stable par rapport à L lorsque X est de rang de Picard deux. Dans la deuxième partie, pour un faisceau réflexif équivariant sur une variété torique polarisée, nous étudions la stabilité de l’enveloppe réflexive de son pullback le long d’une fibration torique. On montre que la stabilité (resp. l’instabilité) est préservée par certaines polarisations dites adiabatiques. Dans le cas où le faisceau est localement libre et semistable, nous donnons une condition nécessaire et suffisante sur son objet gradué pour que son pullback réflexif devienne stable. Dans la dernière partie, nous étudions le lieu singulier des faisceaux réflexifs équivariants. Nous construisons explicitement un faisceau réflexif ayant pour lieu singulier une sous-variété irréductible de codimension au moins trois