Johdatus hyperboliseen geometriaan lukiolaiselle

Tässä maisterintutkielmassa esitellään hyperbolinen geometria tasolla, joka on ymmärrettävä lukiolaiselle. Hyperbolinen geometria on negatiivisesti kaareutuvan pinnan geometriaa, jossa pätevät muut euklidisen geometrian aksioomat, mutta Eukleideen aksioomista viides, niin kutsuttu paralleeliaksiooma, ei päde. Hyperbolisen geometrian syntytarina alkoi jo ennen ajanlaskun alkua Eukleideen Alkeiden julkaisusta, mutta todistettiin vasta 1800-luvulla. Pinnan kaarevuuden lisäksi hyperbolisen geometrian erityisominaisuuksia on se, että kolmion kulmien summa on aidosti alle 180 astetta ja sen seurauksena yksikään nelikulmio ei ole suorakulmio. Lisäksi, esimerkiksi tietyn suoran kanssa yhdensuuntaisia suoria voi olla loputon määrä suoran ulkopuolisen pisteen kautta. Tutkielman sisältö on lähes kokonaan suunnattu lukiotasoiselle lukijalle. Ainoastaan Esitietoja-lukuun sisältyy myös tutkielmaan liittyviä esitietoja, jotka eivät ole tarkoitettu lukiolaiselle, kuten geometrian osa lukion opetussuunnitelmassa. Aihetta lähestytään Saccherin nelikulmion todistuksen kautta, jossa jokainen välivaihe on ymmärrettävissä lukiogeometrian lauseiden kautta. Aiheeseen johdattelevan todistuksen jälkeen esitellään hyperbolisen geometrian ominaisuuksia ja Poincarén- sekä Beltrami-Kleinin kiekkomallit hyperbolisen pinnan kuvaamiseksi. Lopussa lukijalle on tarjolla harjoitustehtäviä liittyen todistamiseen, tiedonhakuun ja GeoGebralla piirtämiseen