Modèles sur réseau géométriques, araignées algébriques et applications à la géométrie aléatoire

This thesis introduces and relates geometric lattice models, some of which are new, to spin clusters or their interfaces in Zn models. The critical (fractal) properties of these spin clusters and their interfaces are well established numerically but badly understood analytically, except for the n=2 case corresponding to the Ising model. The Ising model can be formulated in terms of a loop model describing the interfaces between its black and white clusters. This loop model is a particular case of the non-local O(N) loop model. The latter is relatively well understood even though it is still the subject of active research. This fact can be explained by its integrability properties as well as the description of its critical fluctuations by a Coulomb Gas. The path leading to the Coulomb Gas formulation contains two essential steps. The first one consists in reformulating the model in purely local terms making explicit a Uq(sl2) symmetry. The second one maps the local configurations to height variable. The fluctuations of this height variable, renormalised into a bosonic field, are precisely the ones described by the conformal field theory defined by the Coulomb Gas action. The essence of this height variable mapping resides in the Uq(sl2) symmetry of the local Boltzmann weights.Firstly, we introduce new models generalizing Uq(sl2) symmetric loop models. These models are defined in an analogous manner in terms of diagrams, called webs, that are representing intertwiners of representations of higher rank quantum groups. It is important to remark that these diagrams, in general, possess branchings. We show that, for certain choices of their parameters, these models describe interface in Zn spin models with n>2. More precisely, we relate Z3 interfaces to A2, B2 and G2 webs, Z4 inteferfaces to A3 and B2 webs, Zn interfaces with n>4 to An-1 webs. Just like the loop models, it is possible to localise the Boltzmann weights of these models. We study in detail the Uq(sl3) case describing the interfaces of the 3 states Potts model. We give numerically obtained phase diagrams. The symmetry of local Boltzmann weights makes it possible to reformulate the model in terms of a height variable with two components. We are then able to formulate the conformal field theories describing the fluctuations of this height at critical points in terms of a Coulomb Gas action.Finally, we show that the spin clusters in the Potts models can be reformulated in terms of a two colour loop model based on Fuss-Catalan algebras. We show that, on the lattice, the two point connectivities of spin clusters can be expressed in terms of seam line operators that are (semi-)local.Dans cette thèse, nous introduisons et mettons en relation des modèles sur réseaux bidimensionnels géométriques, certains d'entre eux étant nouveaux, avec les amas de spins, ou leurs interfaces, des modèles de spin à symétrie Zn. Les propriétés critiques (fractales) de ces amas de spins et de leurs interfaces sont bien établies numériquement mais mal comprises analytiquement, en dehors du cas n=2 correspondant au modèle d'Ising. Le modèle d'Ising peut se reformuler en termes d'un modèle de boucles décrivant les interfaces entre les amas de spin blancs et noirs. Ce modèle de boucles est un cas particulier du modèle non local de boucles O(N). Ce dernier est relativement bien compris analytiquement même si d'importants programmes de recherche sont toujours en cours. Ceci s'explique par son intégrabilité ainsi que la possibilité de décrire ses fluctuations au point critique par un Gaz de Coulomb. L'approche amenant au Gaz de Coulomb comporte deux étapes essentielles, la première d'entre elles étant de reformuler le modèle de façon locale, faisant apparaitre une symétrie par le groupe quantique Uq(sl2). La seconde consiste à reformuler ce modèle local en termes d'une variable de hauteur. Ce sont précisément les fluctuations de cette variable de hauteur qui, renormalisée en un champs bosonique, seront décrites par la théorie conforme définie par l'action du Gaz de Coulomb. L'essence de cette formulation en termes d'une variable de hauteur repose sur l'invariance des poids de Boltzmann locaux par Uq(sl2). Dans un premier temps, nous introduisons des généralisations des modèles de boucles à symétries Uq(sl2). Ces modèles sont définies d'une manière analogue grâce à des diagrammes, appelées toiles d'araignées, qui représentent des opérateurs d'entrelacement entre représentations de groupes quantiques de rang supérieur. Il est important de noter que ces diagrammes possèdent, en général des branchements. Nous montrons que pour certains choix de leurs paramètres, ces modèles décrivent les interfaces des amas de spins dans les modèles à symétrie Zn avec n>2. Plus précisément, nous mettons en relations les interfaces des modèles Z3 avec les toiles d'araignées A2, B2 et G2, les interfaces des modèles Z4 avec les toiles d'araignées A3 et B2, les interfaces des modèles Zn avec les toiles d'araignées An-1. Tout comme le modèle de boucles, il est possible de localiser les poids de Boltzmann de ces modèles. Nous étudions en détails le cas Uq(sl3) décrivant les interfaces du modèle de Potts à trois états. Nous donnons des diagrammes des phases obtenues numériquement. La symétrie des interactions locales de ce modèle permet de le reformuler en termes d'une variable de hauteur à deux composantes. Nous parvenons ensuite à formuler les théories conformes décrivant les fluctuations de cette hauteur aux points critiques par une action de type Gas de Coulomb. Dans un second temps, nous montrons que les amas de spins dans les modèles de Potts peuvent se reformuler en termes de modèles de boucles à deux couleurs basés sur les algèbres de Fuss-Catalan. Nous montrons que, sur le réseau, les fonctions à deux points d'opérateurs de connectivité d'amas de spin peuvent se reformuler en termes d'opérateurs de ligne de couture (semi-)locaux