Représentation géométriques des groupes de tresses

We show that the morphisms from the braid group with n strands in the mapping class group of a surface with a possible non empty boundary, assuming that its genus is smaller or equal to n/2 are either cyclic morphisms (their images are cyclic groups), or transvections of monodromy morphisms (up to multiplication by an element in the centralizer of the image, the image of a standard generator of the braid group is a Dehn twist, and the images of two consecutive standard generators are two Dehn twists along two curves intersecting in one point). As a corollary, we determine the endomorphisms, the injective endomorphisms, the automorphisms and the outer automorphism group of the following groups : the braid group with n strands where n is greater than or equal to 6, and the mapping class group of any surface of genus greater or equal than 2. For each statement involving the mapping class group, we study both cases: when the boundary is fixed pointwise, and when each boundary component is fixed setwise. We will also describe the set of morphisms between two different braid groups whose number of strands differ by at most one, and the set of all morphisms between mapping class groups of surfaces (possibly with boundary) whose genus (greater than or equal to 2) differ by at most one.Nous montrons que les morphismes du groupe de tresses à n brins dans le mapping class group d'une surface de bord éventuellement non vide et de genre inférieur ou égal à n/2 sont soit cycliques (i.e. dont l'image est un groupe cyclique), soit des transvections de monodromie géométriques (i.e. à multiplication près par un élément du centralisateur de l'image, un générateur standard du groupe de tresses est envoyé sur un twist de Dehn, et deux générateurs standards consécutifs sont envoyés sur deux twists de Dehn le long de deux courbes s'intersectant en un point). En corollaire, nous déterminons les endomorphismes, les endomorphismes injectifs, les automorphismes et le groupe d'automorphisme des groupes suivants : le groupe de tresses à n brins lorsque n est supérieur ou égal à 6, le mapping class group de toute surface de genre supérieur ou égal à 2. Pour chacun des énoncés impliquant le mapping class group, nous étudions deux cas : lorsque le bord est fixé point par point ou seulement composante par composante. Nous décrivons également l'ensemble des morphismes entre différents groupes de tresses dont le nombre de brins diffèrent d'au plus un, et l'ensemble des morphismes entre mapping class groups de surfaces (de bord éventuellement non vide) dont les genres (supérieurs ou égal à 2) différent d'au plus un