D-modules arithmétiques et transformation de Fourier-Mukai

The aim of this thesis is to extend the construction of the Fourier-Mukai transform into a functor over the arithmetics D-modules over a formal abelian group scheme while preserving the fundamental properties of this functor, namely its involutivity. To do this, we firstly extend the Fourier-Mukai transform into a functor over the O-modules over a formal abelian group scheme A and deduce an equivalence of categories between the quasi-coherents (in the sense of Berthelot) over A and the ones over A∨, the dual abelian variety of A, as well as a similar result for the rigid analystic varieties with good reduction. In the case of an abelian variety over a field of characteristic zero, Laumon (and Rothstein independently) defined a Fourier-Mukai transform over the category of D-modules over this variety, to value in the category of quasi-coherent O-modules over the differential dual abelian variety A♮ of A. By adapting these constructions for cristaline arithmetic D-modules over a formal abelian group scheme A we can define a p-adic analogous of this transform. If the involutivity of this transform is still a conjecture, we prove it is essentially surjective from the category of quasi-coherent D^(0)-modules over A to the one of quasi-coherent O-modules over A♮, the differential dual abelian variety.L'objectif de cette thèse est d'étendre la construction de la transformée de Fourier-Mukai en un foncteur sur les D-modules arithmétiques sur un schéma en groupes abéliens formel tout en conservant les propriétés fondamentales de ce foncteur, en particulier son involutivité. Pour ce faire, nous étendrons dans un premier temps la transformée de Fourier-Mukai en un foncteur sur les O-modules sur un schéma en groupes abéliens formel A et en déduirons une équivalence de catégorie entre les quasi-cohérents (au sens de Berthelot) sur A et ceux sur A∨, la variété abélienne duale de A, ainsi qu'un résultat similaire sur les variétés analytiques rigides avec bonne réduction. Dans le cas d'une variété abélienne sur un corps de caractéristique nulle, Laumon (et indépendamment Rothstein) ont défini une transformation de Fourier-Mukai sur la catégorie des D-modules sur cette variété, à valeurs dans la catégorie des O-modules quasi-cohérents sur la variété abélienne différentielle duale A♮ de A. En adaptant ces constructions au cas des D-modules arithmétiques cristalins sur un schéma en groupes abéliens formel A nous pouvons construire un analogue p-adique de cette transformation. Si l'involutivité de cette transformée est encore à l'état de conjecture, nous prouvons tout de même qu'elle est essentiellement surjective de la catégorie des D^(0)-modules quasi-cohérents sur A dans celle des O-modules quasi-cohérent sur A♮, le schéma en groupes abéliens D-dual