Étude sur la conjecture de Fuglede et les suites oscillantes

In this thesis, we solve Fuglede's conjecture on the field of p-adic numbers, and study some randomness and the oscillating properties of sequences related to Sarnak's conjecture. In the first part, we first prove Fuglede's conjecture for compact open sets in the field Q_p which states that a compact open set in Q_p is a spectral set if and only if it tiles Q_p by translation. It is also proved that a compact open set is a spectral set (or a tile) if and only if it is p-homogeneous. We characterize spectral sets in Z/p^n Z (p>1 prime, n>0 integer) by tiling property and also by homogeneity. Finally, we prove Fuglede's conjecture in Q_p without the assumption of compact open sets and also show that the spectral sets (or tiles) are the sets which differ by null sets from compact open sets. In the second part, we first give several equivalent definitions of oscillating sequences in terms of their disjointness from different dynamical systems on tori. Then we define Chowla property and Sarnak property for numerical sequences taking values 0 or complex numbers of modulus 1. We prove that Chowla property implies Sarnak property. It is also proved that for Lebesgue almost every b>1, the sequence (e^{2 pi b^n})_{n in N} shares Chowla property and consequently is orthogonal to all topological dynamical systems of zero entropy. We also discuss whether the samples of a given random sequence have almost surely Chowla property. Some dependent random sequences having almost surely Chowla property are constructedDans cette thèse, nous résolvons la conjecture de Fuglede sur le corps des nombres p-adiques, et étudions certaines propriétés aléatoires des suites liées à la conjecture de Sarnak, ainsi que leur propriétés oscillantes. Dans la première partie, nous prouvons d'abord la conjecture de Fuglede pour des ensembles ouverts compacts dans Q_p. Celle-ci indique qu'un ensemble ouvert compact dans Q_p est un ensemble spectral si et seulement s'il pave Q_p par translation. Il est également prouvé qu'un ensemble ouvert compact est un ensemble spectral (ou une tuile) si et seulement s'il est p-homogène. Nous caractérisons les ensembles spectraux dans Z / p^n Z ( p>1 premier, n>0 entier) par la propriété de pavage et aussi par leur homogénéité. Finalement, nous montrons la conjecture de Fuglede dans Q_p sans la restriction d'être ouvert compact en montrant que tout ensemble spectral ou toute tuile doivent être ouvert et compact à un ensemble de mesure nulle près. Dans la seconde partie, nous donnons d'abord plusieurs définitions équivalentes d'une suite oscillante en termes de disjonction de différents systèmes dynamiques sur des tores. Ensuite, nous définissons la propriété de Chowla et la propriété de Sarnak pour des suites numériques prenant des valeurs 0 ou des nombres complexes de module 1. Nous prouvons que la propriété de Chowla implique la propriété de Sarnak. Il est également prouvé que pour Lebesgue presque tout b> 1, la suite (e^{2 pi b^n})_{n in N} partage la propriété de Chowla et est par conséquent orthogonale à tout système dynamique topologique d'entropie nulle. Nous discutons également si les échantillons d'une suite aléatoire donnée ont presque sûrement la propriété de Chowla. Nous construisons certaines suites aléatoires dépendantes ayant presque sûrement la propriété de Chowl