La conjecture de disjonction à la Möbius de Sarnak pour les systèmes dynamiques à spectre singulier avec une dissection du flot de Möbius

It is shown that Sarnak's Möbius orthogonality conjecture is fulfilled for the compact metric dynamical systems for which every invariant measure has singular spectra. This is accomplished by first establishing a special case of Chowla conjecture which gives a correlation between the Möbius function and its square. Then a computation of W. Veech, followed by an argument using the notion of 'affinity between measures', (or the so called 'Hellinger method'), completes the proof. We further present an unpublished theorem of Veech which is closely related to our main result. This theorem assert if for any probability measure in the closure of the Cesaro averages of the Dirac measure on the shift of the Möbius function, the first projection is in the othocomplent of its Pinsker algebra then Sarnak Möbius disjointness conjecture holds. Among other consequences, we obtain a simple proof of Matomäki-Radziwi ll-Tao's theorem and Matomäki-Radziwi ll's theorem on the correlations of order two of the Liouville function.On établit la conjecture de disjonction à la Möbius de Sarnak pour les systèmes dynamiques à spectre singulier. Ceci est accomplit en établissant un cas spécial de la conjecture de Chowla et en utilisant un argument à la Veech combiné avec résultat classique autour de l'affinité entre deux mesures finies. On présent aussi un théorème non publié de Veech qui est en lien étroit avec notre résultat principal. Ce théorème affirme que si pour toute mesure de probabilité issue des moyennes de Césaro des masses de Dirac associées à l'orbite de Möbius sous le décalage, la première projection est dans l'orthocomplément de l'algébre de Pinsker alors la conjecture de disjonction à la Möbius de Sarnak a lieu. Parmi les conséquences, on obtient une preuve simple du théorème de Matomäki-Radziwill-Tao et du théorème de Matomäki-Radziwill autour des corrélations d'ordre deux de la fonction de Liouville