Groupe fondamental de Morse stable

Cette thèse propose de donner une présentation du groupe fondamental d'une variété exclusivement en à partir de la dynamique du gradient d'une fonction de Morse stable. En général, une interprétation d'un invariant algébrique en termes dynamiques est un outil riche pour explorer les interactions entre ces deux mondes. C'est en particulier l'idée qui est à la base de la théorie de Floer, dont la théorie de Morse stable peut être vue comme un modèle de dimension finie. S'il est bien connu que l'homologie de la variété peut être décrite en termes de la dynamique du flot de gradient d'une fonction de Morse stable, le cas du groupe fondamental est bien plus délicat. En particulier, M. Damian a montré qu'il existe des fonctions de Morse stable ayant strictement moins de points critiques que le nombre minimum de générateurs du groupe fondamental. Le cas des générateurs dans le cadre Morse stable a toute fois été résolu par J.-F. Barraud dans l'article "J.-F. Barraud. A Floer fundamental group. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), 51(3) :773–809, 2018.", mais une description intrinsèque des relations manquait toujours tout en étant pourtant d'intérêt pour répondre à des questions d'injectivité qui apparaissent naturellement, en particulier dans le l'usage de techniques basées sur le théorème de s-cobordisme. L'idée explorée à plusieurs reprises afin d'obtenir une définition appropriée pour les relations est la réinterprétation de l'action du flot sur un lacet topologique en termes d'espaces de modules de trajectoires de gradient. Le résultat principal du manuscrit est la définition d'une présentation du groupe fondamental de Morse stable $pi_1(M,F,g;star)$ et la preuve de son invariance par rapport aux données fixées. La première partie du manuscrit décrit la présentation connue du groupe fondamental de Morse de la variété, en adoptant un point de vue qui a pour but de se généraliser le plus fidèlement possible au cadre Morse stable. On y détaille précisément la nature des espaces de trajectoires utilisés, leur géométrie et la combinatoire de leurs composantes de bord. La seconde partie du manuscrit propose une présentation du groupe fondamental en théorie de Morse stable. En particulier, de nouveaux espaces de modules sont introduits et étudiés pour fournir des générateurs du sous groupe des relations. On montre alors que le groupe obtenu est invariant et isomorphe au groupe fondamental usuel.The object of this thesis is to define a presentation of the fundamental group of a manifold exclusively out of the dynamics of the gradient of a stable Morse function. In general, relating topological invariants to dynamical properties is a fruitful tool to explore the interplay of the two worlds; it is in particular the main idea behind the celebrated Floer theory, for which the stable Morse theory can be thought of as a finite dimensional model. It is well known that the homology of the manifold can be recovered from the dynamics of the gradient even in the stable Morse case, but the case of the fundamental group is much more challenging. In particular, as shown by M. Damian, stable Morse functions may have strictly less critical points than the minimal number of generators of the fundamental group. The question of the generators was solved by J.-F. Barraud in "J.-F. Barraud. A Floer fundamental group. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), 51(3) :773–809, 2018. », but an intrinsic description of the relations was still missing and of interest to deal with injectivity questions arising naturally, in particular when working with techniques based on the s-cobordism theorem. The main idea to get an appropriate definition of the relations is to reformulate the action of the flow on topological loops in terms of moduli spaces of trajectories. The main result is a definition of a presentation of the stable Morse fundamental group $pi_1(M,F,g,star)$ and the proof that the resulting group is invariant and isomorphic to the usual fundamental group. The first part of the thesis describes the known presentation of the fundamental group in Morse theory, taking a point of view which can naturally be extended towards the stable Morse setting. The spaces of trajectories involved in this description are detailed, as are their geometry and the combinatorics of their boundary components. The second part of the thesis defines a presentation of the "stable Morse fundamental group". On top of the generators, new spaces of trajectories are introduced and used to define generators of the subgroup of relations. It is then shown that the resulting quotient group is invariant and isomorphic to the usual fundamental group